Պարապմունք 53

Թեմա՝ Քառակուսային հավասարման գաղափարը։ Թերի քառակուսային հավասարումներ։

ax2+bx+c=0 տեսքի հավասարումը, որտեղ a -ն, b -ն և c -ն տրված թվեր են, և a≠0, անվանում են քառակուսային (քառակուսի) հավասարում:

Օրինակ

2x²+3x−8=0, −3x²+2x+1=0, x²+5x=0, 2x²−4=0, 25x²=0 հավասարումները քառակուսային հավասարումների օրինակներ են:

a թիվն անվանում են ավագ անդամի՝ x² -ու գործակից, b թիվը՝ x -ի գործակից, c -ն՝ ազատ անդամ:

Քանի որ a≠0, ապա ցանկացած քառակուսային հավասարում ունի ax² ավագ անդամը: Այդ պատճառով քառակուսային հավասարումն անվանում են նաև երկրորդ աստիճանի հավասարում:

Քառակուսային հավասարման ուսումնասիրման հարցերում կարևոր դեր է խաղում հետևյալ թիվը՝ D=b²−4ac

D=b²−4ac թիվն անվանում են ax²+bx+c=0 քառակուսային հավասարման տարբերիչ կամ՝ դիսկրիմինանտ:

Օրինակ

1) 2x²−3x−5=0 հավասարման մեջ a=2 -ը x² -ու գործակիցն է, b=−3 -ը՝ x -ի գործակիցը, իսկ c=−5 -ը՝ ազատ անդամը: Հաշվենք տարբերիչը` D=(−3)²−4⋅2⋅(−5)=9+40=49

2) x²−7=0 հավասարման մեջ b=0, այդ պատճառով էլ չկա x պարունակող անդամը: x² -ու գործակիցը a=1 -ն է, իսկ ազատ անդամը՝ c=−7: Տարբերիչը հավասար է՝ D=−4⋅(−7)=28

Հիշենք, որ

x անհայտով հավասարման արմատ կամ լուծում անվանում են այն թիվը, որը հավասարման մեջ x -ի փոխարեն տեղադրելով ստացվում է ճիշտ թվային հավասարություն:

Լուծել հավասարումը՝ նշանակում է գտնել նրա բոլոր արմատները կամ ցույց տալ, որ արմատներ չկան:

Ուշադրություն

Եթե ax²+bx+c=0 տեսքի հավասարման մեջ a=0, այսինքն, չկա x2 պարունակող անդամը, ապա հավասարումը քառակուսային չէ:

Վերջին երեք օրինակներում a≠0 (այսինքն, դրանք քառակուսային հավասարումներ են), սակայն՝

x²+2x=0 հավասարման մեջ c=0

2x²−6=0 հավասարման մեջ b=0

12x²=0 հավասարման մեջ երկուսն էլ զրո են՝ b=0, c=0

Այս օրինակներում բերվածները կոչվում են թերի հավասարումներ:

Քառակուսային հավասարումը կոչվում է թերի, եթե b և c թվերից գոնե մեկը հավասար է զրոյի:

Օրինակ

Լուծենք հետևյալ թերի հավասարումները՝

1) x²+3x=0

x²+3x=0 x(x+3)=0 x=0 x=−3

Պատասխան՝ x=0,x=−3

2) 2x²−8=0

2x²−8=0 x²−4=0 (x−2)(x+2)=0 x₁=2 x₂=−2

Պատասխան՝ x₁=2,x₂=−2

3) 7x²=0

7x²=0 x²=0 x=0

Պատասխան՝ x=0

Հարցեր և առաջադրանքներ։

1․ Ո՞ր հավասարումն է կոչվում քառակուսային։

2․ Ինչպե՞ս են հաշվում քառակուսային հավասարման տարբերիչը։
D=b²−4ac

3․ Ո՞ր հավասարումն է կոչվում թերի քառակուսային։

Քառակուսային հավասարումը կոչվում է թերի, եթե b և c թվերից գոնե մեկը հավասար է զրոյի:

4․ Կազմել ax²+bx+c=0 քառակուսային հավասարում, եթե նրա գործակիցները հավասար են․

ա) 3x²+4x+5=0
բ) 3x²-2x+6=0
գ) x²-x+2=0
դ) -x²+3x-2=0

5․ Հաշվել քառակուսային հավասարման տարբերիչը․

ա) 49
բ) 21
գ) 0
դ) -3

6․ Ստուգել՝ 0 թիվը հավասարման արմա՞տ է․

ա) այո
բ) ոչ
գ) ոչ
դ) ոչ
ե) այո
զ) ոչ

Լուծել հավասարումները․

ա) x=-1, 1
բ) x=0
գ) x=0, 1
դ) x=-3, 0
ե) x=-2, 3
զ) x=-5, 7
է) x=0, 1/2
ը) x=-2, 0
թ) x=-5, 8
ժ) x=-1, 4

7․ Լուծել հավասարումները․

ա) x=0, 4
բ) x=-6, 0
գ) x=-1/3, 0
դ) x=0, 1/2
ե) x=-2/3, 0
զ) x=0
է) x=5/7, 0
ը) x=3/11, 0
թ) x=0, 6

8․ Լուծել հավասարումները․

ա) x=√3, -√3
բ) x=√5, -√5
գ) x=√3, -√3
դ) x=5√2, -5√2
ե) x=√3/2, -√3/2
զ) x=∅
է) x=48, -48
ը) x=5,6, -5,6
թ) x=200, -200

Պարապմունք 50

Թեմա` Պարզագույն իռացիոնալ հավասարումների լուժումը:

Եթե հավասարման անհայտը գտնվում է քառակուսի արմատի նշանի տակ, ապա այդպիսի հավասարումը անվանում են իռացիոնալ:

Կյանքի շատ իրավիճակներ նկարագրվում են իռացիոնալ հավասարումներով: Ուստի, սովորենք լուծել գոնե պարզագույն իռացիոնալ հավասարումները:

Դիտարկենք

Եթե հավասարման անհայտը գտնվում է քառակուսի արմատի նշանի տակ, ապա այդպիսի հավասարումը անվանում են իռացիոնալ:

Կյանքի շատ իրավիճակներ նկարագրվում են իռացիոնալ հավասարումներով: Ուստի, սովորենք լուծել գոնե պարզագույն իռացիոնալ հավասարումները:

Դիտարկենք √2x+1=3 իռացիոնալ հավասարումը:

Ըստ քառակուսի արմատի սահմանման, այն նշանակում է, որ 2x+1=32: Փաստորեն, քառակուսի բարձրացնելով, տրված իռացիոնալ հավասարումը բերեցինք 2x+1=9 գծային հավասարմանը:

Ուշադրություն

Քառակուսի բարձրացնելը իռացիոնալ հավասարումների լուծման հիմնական եղանակն է:

Դա բնական է, եթե պետք է ազատվել քառակուսի արմատի նշանից:

2x+1=9 հավասարումից ստանում ենք՝ x=4: Սա միաժամանակ 2х+1=9 գծային և √2x+1=3 իռացիոնալ հավասարումների արմատն է:

Քառակուսի բարձրացնելու եղանակը տեխնիկապես բարդ չէ իրականացնել, սակայն երբեմն այն բերում է անցանկալի իրավիճակների:

Օրինակ

Դիտարկենք √2x−5=√4x−7 իռացիոնալ հավասարումը:

Երկու մասերը բարձրացնելով քառակուսի, ստանում ենք՝ (√2x−5)2=(√4x−7)2 2x−5=4x−7

Լուծելով ստացված 2x−4x=−7+5 հավասարումը, ստանում ենք x=1

Սակայն x=1, որը 2x−5=4x−7 գծային հավասարման արմատն է, չի բավարարում տրված իռացիոնալ հավասարմանը: Ինչո՞ւ: Իռացիոնալ հավասարման մեջ փոխարեն տեղադրենք 1: Կստանանք՝ √−3=√−3

Հավասարումը բնականաբար չի բավարարվում, քանի որ հավասարության ձախ և աջ մասերը իմաստ չունե

Ստացել ենք ավելորդ արմատ: Այսպիսի իրավիճակներում ասում ենք, որ x=1 -ը թույլատրելի արժեք չէ, կամ չի պատկանում թույլատրելի արժեքների բազմությանը: Դուրս եկավ, որ այս դեպքում, իռացիոնալ հավասարումը արմատ չունի, մինչդեռ քառակուսի բարձրացնելուց ստացված գծային հավասարումը արմատ ուներ:

Պետք է այսպիսի ավելորդ արմատները ժամանակին հայտնաբերել և չընդգրկել լուծումների մեջ՝ դեն նետել: Դա արվում է ստուգման միջոցով:

Իռացիոնալ հավասարումների համար, ստուգումը լուծման անհրաժեշտ փուլ է, որը օգնում է հայտնաբերել և դեն նետել ավելորդ արմատնելը:

Ուշադրություն

Այսպիսով, իռացիոնալ հավասարումը լուծելու համար պետք է՝

1) այն բարձրացնել քառակուսի,

2) լուծել ստացված հավասարումը,

3) կատարել ստուգում՝ դեն նետելով ավելորդ արմատները,

4) գրել վերջնական պատասխանը:

Կիրառելով այս եզրակացությունը, դիտարկենք հետևյալ օրինակը:

Օրինակ

Լուծենք √5x−16=2 հավասարումը:

1) Երկու մասերը բարձրացնենք քառակուսի՝ (√5x−16)2=22

2) Լուծենք ստացված հավասարումը՝

5x−16=4 5x=20 x=4

3) Կատարենք ստուգում: √5x−16=2 հավասարման մեջ տեղադրենք x=4: Ստանում ենք՝ √4=2 ճիշտ հավասարությունը:

4) Պատասխան՝ √5x−16=2 հավասարման լուծումը x=4 -ն է:

Հարցեր և առաջադրանքներ։

1. Ո՞ր հավասարումներն են կոչվում իռացիոնալ։

Եթե հավասարման անհայտը գտնվում է քառակուսի արմատի նշանի տակ, ապա այդպիսի հավասարումը անվանում են իռացիոնալ:

2․ Ինչպե՞ս են լուծում պարզագույն իռացիոնալ հավասարումները։

Այսպիսով, իռացիոնալ հավասարումը լուծելու համար պետք է՝

1) այն բարձրացնել քառակուսի,

2) լուծել ստացված հավասարումը,

3) կատարել ստուգում՝ դեն նետելով ավելորդ արմատները,

4) գրել վերջնական պատասխանը:

3․ Լուծել հավասարումները։

ա) x = 9
բ) x = 0
գ)
դ) x = 1/2
ե) x = 1/2
զ) x = -1
է) x = 44/3
ը) x = 48/5
թ) x = 7

4․ Լուծել հավասարումները։

ա) x = 1/3
բ) x = -1/4
գ) x = 2
դ) x = -10
ե) x = 8/5
զ) x = -1/4

5․ Լուծել հավասարումները․

249. x = 4
250. x = 9
251. x = 25
252.
253. x = 0
254. x = 81
255. x = 64
256.
257. x = 25
258. x = 0
259.
260. x = 25
261. x = 6
262. x = 20
263. x = 6
264. x = 6
265.
266. x = 9
267. x = 4.5
268. x = 10
269. x = 1
270.
271. x = 10/3
272. x = 4/3
273. x = 7
274.
275.
276. x = 7
277.
278. x = 10
279.
280. x = 0.75

Պարապմունք 48

Թեմա՝ Թվաբանական քառակուսի արմատների հատկությունները։

Դիցուք a≥0, b≥0 և c>0, ապա ճիշտ են հետևյալ հավասարությունները՝

1)√a⋅b=√a⋅√b

2)√a/c=√a/√c

Ցանկացած a իրական թվի համար ճիշտ է՝

3)√a²=|a|

√64⋅81=√64⋅√81−−√=8⋅9=72 √64⋅81=√5184=… =?

Երբեմն հարմար է օգտագործել բերված բանաձևերը հակառակ կարգով, մասնավորապես՝ √a⋅ √b=√a⋅b

Օրինակ՝ Հաշվենք արմատների հետևյալ արտադրյալը՝

√2⋅√32=√2⋅32=√64=8 Պատասխան՝ 8

Ակնհայտ է, որ առանձին 2 և 32 թվերից արմատները չէին հանվում, իսկ արտադրյալից՝ հաջողվեց:

Նման կերպ ենք վարվում, երբ չի հաջողվում առանձին հաշվել արմատների հարաբերությունը:

Օրինակ

Հաշվենք արմատների հարաբերությունը:

√75/√3=√75/3=√25=5

Լինում են իրավիճակներ, երբ թիվը քառակուսի բարձրացնելուց հետո, պահանջվում է արդյունքից արմատ հանել:

Այս դեպքերում կարիք չկա առանձին կատարել երկու գործողությունները՝ պատասխանը միանգամից ստացվում է երրորդ հատկության միջոցով:

Օրինակ՝ Այդպես ենք վարվում հետևյալ օրինակներում՝

√5²=5, √92²=92, √(0.67)²=0.67, √(−1.43)²=1.43

Առաջադրանքներ

1․ Ընտրիր ճիշտ հատկությունները:

√a+√b=√a+b
√a²=a, a≥0
√a: √b=√a:b
√a⋅a =a, a≥0
√a⋅a=a²

2․ Հաշվել․

Ա) 6
Դ)12
Գ)20
Դ)35
Ե)90
Զ)560

3․ Հաշվել․

ա)20
բ)18
գ)30
դ)48
ե)220
զ)105
է)210
ը)630
թ)154

4․ Հաշվել․

ա)√2
բ)3
գ)√x
դ)√3

5․ Հաշվել․

ա)8
բ)15
գ)30
դ)70
ե)20
զ)900
է)800
ը)5000

6․ Հաշվել․

ա)4
բ)3,1
գ)1
դ)5
ե)1,13
զ)7,2
է)0,3
ը)57,1

7․ Արտադրիչը դուրս բերել արմատանշանի տակից․

ա)2/3
բ)3/4
գ)2√10/9
դ)6√2/5
ե)5√2/2
զ)√5/2
է)x√x/3
ը)√7a/4b
թ)mn√3bm/2ab
ժ)5xy√may/mn⁴
ի)√x/10y
լ)m√10mn/n

8․ Արտադրիչը դուրս բերել արմատանշանի տակից․

ա)6
բ)9
գ)2√5
դ)2√6
ե)3√3
զ)2√7
է)4√2
ը)3√5
թ)5√2
ժ)6√2

Պարապմունք 47

Թեմա՝ Թվաբանական քառակուսի արմատ։

Տրված a թվից թվաբանական քառակուսի արմատ կոչվում է այն ոչ բացասական թիվը, որի քառակուսին հավասար է տրված a թվին:

Նշանակում ենք այսպես՝ √a: Կարդում ենք՝ a թվից քառակուսի արմատ:

a -ն թիվն անվանում են արմատատակ թիվ:

√16=4, քանի որ՝ 4²=16

Ուշադրություն՝ Բացասական թվից քառակուսի արմատ գոյություն չունի:

Օրինակ ՝√-16 արտահայտությունն իմաստ չունի, քանի որ չկա այնպիսի a իրական թիվ, որի քառակուսին հավասար լինի բացասական թվի՝ a²≠−16

Քառակուսի արմատը գտնելու համար պետք է լավ իմանալ թվերի քառակուսիները:

Թվերի հաճախ օգտագործվող քառակուսիներ՝

Հետևաբար, √81=9; √121=11; √361=19 և այլն:

Ուշադրություն՝ √1=1,√0=0

Եթե արմատատակ թիվը տասնորդական կոտորակ է, ապա պետք է ուշադրություն դարձնել ստորակետից հետո եկող թվերի քանակի վրա:

√0,09=0,3; քանի որ 0,3²=0,3⋅0,3=0,09 √0,0016=0,04 √0,009= ?

Այս թիվը բանավոր հաշվել հնարավոր չէ, քանի որ այն անվերջ տասնորդական կոտորակ է:

Եթե արմատատակ թիվը վերջանում է զրոներով, ապա պետք է ուշադրություն դարձնել դրանց քանակի վրա

√400=20 √1210000=1100 √9000=?

Այս թիվը ևս բանավոր հաշվել հնարավոր չէ, քանի որ այն անվերջ տասնորդական կոտորակ է (ստուգիր հաշվիչի օգնությամբ):

Առաջադրանքներ։

1․ Հաշվել քառակուսի արմատը․

3, 4, 5, 7, 9, 11, 15, 17, 19, 24, 26, 22, 27, 31

2․ Հաշվել

Ա.3,
Բ.9,
Գ.5,
Դ.9.
Ե6 ,
Զ 2,
Է.4,
Ը.3,
Թ1,3
3․ Հաշվել

Ա 18,
Բ10/3,
Գ 1,
Դ 1,2,
Ե 0,81,
Զ 70,
Է 3,
Ը 3,6
Թ 5,2

4․ Համեմատել

Ա >
Բ <
Գ <
Դ <
ե >
զ >
է <
ը >
Թ >

5․ Հաշվել

ա) 2
բ) 3
գ) 13
դ) 17

6․ Հաշվել

ա) 30
բ) 18
գ) 2
դ) 6
ե) 2
զ) -3.1

7․ Հաշվել

ա) 7/9
բ) 4/5
գ) 4/3
դ) 3/2
ե) 13/29

8․ Գտնել արտահայտության արժեքը՝ 0.4√0.16+1/2⋅√256
8.4

Պարապմունք 47

Թեմա՝ Թվաբանական քառակուսի արմատ։

Տրված a թվից թվաբանական քառակուսի արմատ կոչվում է այն ոչ բացասական թիվը, որի քառակուսին հավասար է տրված a թվին:

Նշանակում ենք այսպես՝ √a: Կարդում ենք՝ a թվից քառակուսի արմատ:

a -ն թիվն անվանում են արմատատակ թիվ:

√16=4, քանի որ՝ 4²=16

Ուշադրություն՝ Բացասական թվից քառակուսի արմատ գոյություն չունի:

Քառակուսի արմատը գտնելու համար պետք է լավ իմանալ թվերի քառակուսիները:

Թվերի հաճախ օգտագործվող քառակուսիներ՝

Հետևաբար, √81=9; √121=11; √361=19 և այլն:

Ուշադրություն՝ √1=1,√0=0

√0,09=0,3; քանի որ 0,3²=0,3⋅0,3=0,09 √0,0016=0,04 √0,009= ?

Այս թիվը բանավոր հաշվել հնարավոր չէ, քանի որ այն անվերջ տասնորդական կոտորակ է:

Եթե արմատատակ թիվը վերջանում է զրոներով, ապա պետք է ուշադրություն դարձնել դրանց քանակի վրա

√400=20 √1210000=1100 √9000=?

1․ Հաշվել քառակուսի արմատը․

√9=3
√16=4
√25=5
√49=7
√81=9
√121=11
√225=15
√289=17
√361=19
√576=24
√676=26
√484=22
√729=27
√961=31

2․ Հաշվել

ա)3
բ)9
գ)5
դ)9
ե)6
զ)2
է)4
ը)1
թ)1,3

3․ Հաշվել

ա)18
բ)10/3
գ)1
դ)6/5
ե)3/10
զ)70
է)3
ը)18/5
թ)26/5

4․ Համեմատել

ա)>
բ)<
գ)<
դ)<
ե)>
զ)>
է)<
ը)>
թ)>

5․ Հաշվել

ա)2
բ)3
գ)13
դ)17

6․ Հաշվել

ա)30
բ)18
գ)2
դ)6
ե)2
զ)-31/10

7․ Հաշվել

ա)7/9
բ)4/5
գ)4/3
դ)3/2
ե)13/29

8․ Գտնել արտահայտության արժեքը՝ 0.4√0.16+1/2⋅√256

204/25=8,16

Պարապմունք 44

Թեմա՝ Մեկ անհայտով գծային անհավասարումների համակարգեր և համախմբեր։

Առաջադրանքներ։

1․ Կոորդինատային ուղղի վրա նշեք անհավասարումների համակարգի բոլոր լուծումները (եթե դրանք գոյություն ունեն)․

(4; ∞)

(-2; -∞)

(-2; -∞)

(-17; -∞)

Ø1q

2․ Փակագծերում նշված թիվը հանդիսանո՞ւմ է արդյոք անհավասարումների համակարգի լուծում՝

15>10
18+1<0
ոչ

4,2-10∈0
1,8+1∋0
այո

3․Լուծել անհավասարումների համակարգը․

ա)

բ)

x∈(1/13,9)

գ)

x∈(2,25/7)

դ)

x(-1, +∞)

4․Լուծել անհավասարումների համախումբը․

ա)

(3, +∞)

բ)

∅

գ)

(7, +∞)

դ)

Պարապմունք 43

Թեմա՝ Մեկ անհայտով գծային անհավասարումների համախմբեր։

Տրված են x անհայտով մի քանի անհավասարումներ և հավասարումներ։ Եթե պետք է գտնել բոլոր այն x թվերը, որոնցից յուրաքանչյուրը հանդիսանում է դրանցից մեկի լուծում, ապա ասում են, որ պետք է լուծել մեկ x անհայտով համախումբ։

Համախումբը լուծելու համար պետք է լուծել այդ համախմբի յուրաքանչյուր անհավասարումը կամ հավասարումը և այնուհետև գտնել ստացված լուծումների բազմությունների միավորումը, դա էլ հենց կհանդիսանա տվյալ համախմբի բոլոր լուծումների բազմությունը։

Օրինակ`

Լուծենք 5x – 2 < 3 և 4x + 3 > 0 համախումբը

Լուծում

5x < 5 4x > -3 կստանանք՝

x < 1 x > – 3 / 4

Պատ․՛ ( – ∞ ; 1) ∪ [ – 3/4; + ∞] = ( – ∞ ; +∞)

Այսինքն համախմբի լուծումը՝ բոլոր իրական թվերի համախումբն է՝ R – ը:

Առաջադրանքներ։

1․ 2; 3; -5 թվերից ո՞րն է հետևյալ համախմբի լուծում

2․Լուծել համախումբը․

ա)

∅

բ)

x∈(3;5)

գ)

∅

դ)

∅

3․ Գտնել համախմբի լուծումները․

ա)

բ)

գ)

դ)

ե)

4․ Լուծել համախումբը․

ա)

∅

բ)

{x>0

x ∈ [2;+∞)

Պարապմունք 42

Թեմա՝ Մեկ անհայտով գծային անհավասարումների համակարգեր

Անհավասարումների համակարգը բաղկացած է մեկ կամ մի քանի անհավասարումներից: Այդ անհավասարումները միավորվում են ձևավոր փակագծով: Պետք է գտնել այդ անհավասարումների բոլոր ընդհանուր լուծումները:

Փոփոխականի այն արժեքները, որոնց դեպքում համակարգի անհավասարումներից յուրաքանչյուրը վերածվում է ճիշտ անհավասարության, կոչվում են անհավասարությունների համակարգի լուծումներ:

Գծային անհավասարումների համակարգը լուծելու համար, պետք է լուծել համակարգի յուրաքանչյուր անհավասարումը և այնուհետև գտնել ստացված լուծումների բազմությունների ընդհանուր մասը (հատումը): Դա էլ հենց կլինի համակարգի բոլոր լուծումների բազմությունը:

Լուծել համակարգը՝ նշանակում է գտնել նրա բոլոր լուծումները:

Օրինակ․

Լուծենք հետևյալ համակարգը՝

1. Լուծելով առաջին անհավասարումը, ստանում ենք՝

2x>4

x>2

2. Լուծելով երկրորդ անհավասարումը, ստանում ենք՝

3x<13

x<13/3

3. Ստացված միջակայքերը նշենք թվային առանցքի վրա: Յուրաքանչյուրի համար ընտրենք իր նշումը:

4. Անհավասարումների համակարգի լուծումը թվային առանցքի վրա նշված երկու բազմությունների հատումն է:

Մեր դեպքում ստանում ենք այս պատասխանը՝ (2;13/3)

Առաջադրանքներ․

1. Կոորդինատային ուղղի վրա նշեք անհավասարումների համակարգի բոլոր լուծումները (եթե դրանք գոյություն ունեն)․

ա)

x=4

բ)

x=2

գ)

x=8

դ)

ե)

x=-6

զ)

-2

2․Փակագծերում նշված թիվը հանդիսանո՞ւմ է արդյոք անհավասարումների համակարգի լուծում՝

ա)

{1+3>0
{7-(-4)>0

բ)

{8-2<0
{6>3

3․Լուծել անհավասարումների համակարգը

ա) x ∈ (3 ; 4)
բ) x ∈ (-∞ ; 12)
գ) x ∈ (1 ; +∞)
դ) x ∈ (0,5 ;+∞)
ե) x ∈ (4 ;+∞)
զ) x ∈ (-∞ ; 5)
ը) x ∈ (-∞ ; -1)

4․Լուծել անհավասարումների համակարգը․

ա)

x ∈ (0,8 ;+∞)

բ)

x ∈ [2 ; 4]

գ)

x ∈ [2 ; 4]

դ)

x ∈ (0,1 ; 0,2)

5․Լուծել անհավասարումների համակարգը

ա)

[-11 ; 3]

բ)

գ)

x ∈ [-2/7 ; 1,5)

դ)

x ∈ (2 ; 3)

ե)

x ∈ ( 4 ; 5)

զ)

x ∈ [2 ; 3)

Պարապմունք 45

Թեմա՝ Մոդուլի նշան պարունակող հավասարումների և անհավասարումների լուծումը։

Հիշենք մոդուլի սահմանումը:

x ոչ բացասական թվի բացարձակ արժեք կամ մոդուլ անվանում են հենց x թիվը՝ |x|=x: Բացասական x թվի մոդուլ կոչվում է նրա հակադիր թիվը՝ |x|=−x

Ավելի կարճ գրում են այսպես՝ |x|={x, եթե x≥0 և −x, եթե x<0

Օրինակ՝ |8|=8 |−3|=−(−3)=3 |0|=0

Մոդուլի հատկությունները

1. |a|≥0

2. |ab|=|a|⋅|b|

3. ∣a/b∣=|a|/|b|

4. |a|²=a²

5. |a|=|−a|

Մոդուլ պարունակող պարզագույն հավասարումներ։

Դիտարկենք |x|=A հավասարումը, որտեղ A-ն իրական թիվ է:

Մոդուլի սահմանումից և հատկություններից հետևում է, որ |x|=A հավասարումը՝

1)A<0 դեպքում լուծում չունի,

2)A=0 դեպքում ունի միակ լուծումը՝ x=0,

3)A>0 դեպքում ունի երկու լուծում՝ x=A և x=−A

Գտնենք y -ը, եթե |2y−1|=3

Այս դեպքը բնորոշ է դիտարկված ընդհանուր դեպքին, եթե համարենք, որ x=2y−1, A=3: Հետևաբար, 2y−1=3 կամ 2y−1=−3

Լուծելով այս գծային հավասարումները, ստանում ենք՝

2y−1=3 2y=4 y=2 կամ 2y−1=−3 2y=−2 y=−1

Պատասխան՝ y -ը հավասար է −1 -ի և 2 -ի:

Մոդուլ պարունակող անհավասարումներ։

Դիտարկենք |x|<A անհավասարումը, որտեղ A -ն դրական թիվ է:

Մոդուլի սահմանումից, հատկություններից և երկրաչափական մեկնաբանությունից հետևում է, որ |x|<A անհավասարումը համարժեք է −A<x<A կրկնակի անհավասարմանը:

Գիտենք, որ կրկնակի անհավասարումն էլ իր հերթին համարժեք է գծային անհավասարումների համապատասխան համակարգին՝

Այսպիսով, եթե A>0, ապա լուծել |x|<A անհավասարումը նշանակում է լուծել անհավասարումների {x<A և x>−A համակարգը:

Ամբողջ ասվածը ուժի մեջ է նաև ոչ խիստ անհավասարումների համար՝

|x|≤A ոչ խիստ անհավասարումը լուծելու համար պետք է լուծել ոչ խիստ անհավասարումների {x≤A x≥−A համակարգը:

Օրինակ՝ Լուծենք |5−2x|≤3 անհավասարումը:

1) Օգտվելով մոդուլի |a|=|−a| հատկությունից, շրջենք մոդուլատակ արտահայտությունը, փոխելով նշանները: Հետևաբար, պահանջվող անհավասարումը կարելի է արտագրել այսպես՝ |2x−5|≤3

2)|2x−5|≤3 անհավասարումը փոխարինենք անհավասարումների համակարգով՝

{2x−5≤3 և 2x−5≥−3

3) Լուծենք համակարգի անհավասարումները՝ {2x−5≤3 և 2x−5≥−3 {2x≤8 և 2x≥2 {x≤4 և x≥1 {x∈(−∞;4] x∈[1;+∞)

4)Հատենք ստացված բազմությունները՝ (−∞;4]∩[1;+∞)=[1;4]

5) Պատասխան՝ x∈[1;4]

Մոդուլ պարունակող անհավասարումներ

Դիտարկենք |x|>A անհավասարումը, որտեղ A -ն դրական թիվ է:

Մոդուլի սահմանումից և հատկություններից հետևում է, որ |x|>A անհավասարմանը բավարարում են այն և միայն այն x -երը, որոնք բավարարում են x<A կամ x>−A պայմաններից գոնե մեկին:

Եթե A>0, ապա լուծել |x|>A անհավասարումը նշանակում է լուծել անհավասարումների [x<A կամ x>−A համախումբը:

Ամբողջ ասվածը ուժի մեջ է նաև ոչ խիստ անհավասարումների համար՝

|x|≥A ոչ խիստ անհավասարումը լուծելու համար պետք է լուծել ոչ խիստ անհավասարումների [x<A կամ x>−A համախումբը:

Օրինակ՝ Լուծենք |4x−6|>2 անհավասարումը:

1)|4x−6|>2 անհավասարումը փոխարինենք անհավասարումների համախմբով՝

[4x−6>2 կամ 4x−6<−2

2) Լուծենք համախմբի անհավասարումները՝ [4x−6>2 կամ 4x−6<−2 [4x>8 կամ 4x<4 [x>2 կամ x<1[x∈(2;+∞) կամ x∈(−∞;1)

3)Միավորենք ստացված բազմությունները՝ (−∞;1)∪(2;+∞)

4) Պատասխան՝ x∈(−∞;1)∪(2;+∞)

Առաջադրանքներ։

1․Լուծել հավասարումները․

ա)

x=9
x=-9

բ)

x=1,5
x=-1,5

գ)

x=3
x=-1

դ)

x=3
x=1

ե)

x=-2
x=-4

զ)

x=-4
x=2

2․ Լուծել հավասարումները՝

ա) |x−67.14|=0

x=67,14

բ) ∣5x−21∣=4

x=5
x=3,4

գ) ∣3x+21∣=48

x=-23
x=9

դ) ∣7x+2∣=-8

∅

3․ 9.72 թիվը հանդիսանում է |x|≤9.72 անհավասարման լուծում:

4․ Լուծել հավասարումները․

ա)

x=-2
x=3

բ)

x=-2
x=2/3

գ)

x=1
x=11/3

դ)

x=-7/3
x=1

5․Լուծել տրված անհավասարումները՝

ա) |x|≤30
x ∈ [-30;30]

բ) |x+3|<7
x∈[-10;4]

գ) |x−10|<3
x∈[7;13]

դ) |x−5|<13
x∈[-8;18]

ե) |x−25|≤6
x∈[19;31]

զ) |x+6|>8
x∈(-∞;-14)∪(2;+∞)

է) |x−10|>2
x∈(-∞;8)∪(12;+∞)

ը) |x−5|>17
x∈(-∞;-12)∪(22;+∞)

6․Գրել հավասարումների համախումբը, որը համարժեք է հավասարմանը․

ա) |x|=5,
x=5
x=-5

բ) |x|=24
x=24
x=-24

7․Գրել անհավասարմանը համարժեք անհավասարումների համակարգ․ ա) |x|<5, բ) |x|<8Պարապմունք 45

ա) |x|<5,
{x<5
{x>-5

բ) |x|<8
{x<8
{x>-8

Պարապմունք 41

Թեմա՝ Ոչ խիստ գծային անհավասարումներ:

kx−b≥0 կամ kx−b≤0 տեսքի անհավասարումները, որտեղ k -ն և b -ն տրված թվեր են, ընդ որում k≠0, անվանում են մեկ x անհայտով առաջին աստիճանի ոչ խիստ անհավասարումներ:

Օրինակ՝ x−3≥2 x≥5 Պատ.՝ x∈[5;+∞)

x անհայտով առաջին աստիճանի գծային անհավասարումները լուծում են ինչպես խիստ գծային անհավասարումները։

Առաջադրանքներ։

1․Լուծել ոչ խիստ գծային անհավասարումները։

ա) -2x+x>-3,1+5,1
-x>2
x<-2
x∈[-∞;2)

բ) 3x-6<1-3x-2x+1
3x-6<2-5x
3x+5x<2+6
8x<8
x<1
x∈[-∞;1]

գ) 2x-1-5+3x>2-5x
5x-6>2-5x
5x+5x>2+6
10x>8
x>4/5
x∈[4/5;+∞)

դ) x^2-4<4-x+x^2
x^2-x^2+x<4+4
x<8
x∈(-∞;8]

2․ Լուծել 0.8x ≥−4 գծային անհավասարումը:

0,8x:0,8>-4:0.8
x>-5
x∈[-5;+∞)

3․ x -ի ո՞ր արժեքների դեպքում է 4x−13 երկանդամն ընդունում դրական արժեքներ։

x=4,5,6…

4․ x -ի ո՞ր արժեքների դեպքում է 5x−20 երկանդամն ընդունում ոչ բացասական արժեքներ:

x=4,5,6…

5. k-ի ո՞ր արժեքների դեպքում է −5k+12 երկանդամն ընդունում 2-ից մեծ արժեքներ:

x=1

6. Լուծել անհավասարումը՝
ա) 3x−6≤−5x+26
3x+5x<26+6
8x>32
x<4
x∈(-∞;4)
բ) 2x−5<35−6x
2x+7x<35+5
9x<40
x>40/9
x∈[40/9;+∞)
գ) −4(p+5)≤200
-4p-20<200
-4p<200+20
-4p<220
p>-55
p∈[-55;+∞)
դ) 2(4−3y)+4(9−y)≤60
44-10y<60
-10y<60-44
-10y<16
y>-8/5
x∈(-∞;-8/5]
ե) (x+4)²−x²<5x+13
x^2+16-x^2<5x+15
5x<-16+15
5x<-1
x>-5
x∈(-∞;5]

7․ -2-ը տրված ոչ խիստ անհավասարումների լուծո՞ւմ է: Պատասխանը հիմնավորել։

ա) 2 + x ≥ 0
2+x-2>0-2
x>-2
x∈[-2;+∞)
Այո
բ) 4 + 2x ≤ 0
2x<-4
x<-2
x∈(-∞;-2]
Այո
գ) 7 − x ≤ 0
x>7
x∈[7;+∞)
Ոչ
դ) 9 + 5x ≥ 2 – 3x
5x+3x>2-9
8x>-7
x>-7/8
x∈[7/8;+∞)
Ոչ
ե) 4x ≥ −5 + 4x
0>-5
x∈R
Ոչ
զ) 2(1 + x) ≤ 2x
1+x<x
1<0
0

8․ Լուծել անհավասարումները․

ա)x+1-(2x+3)-(1-7x)<x-8+5x
1-(2x+3)-1+7x<-8+5x
-2x-3+7x<-8+5x
5x-3<-8+5x
-3<-8
0
բ) 3x-11-5+9x+x-1>1-4x-12-x
13x-17>-11-5x
13x+5x>-11+17
18x>6
x>1/3
x∈[1/3;+∞)

Պարապմունք 39

Թեմա՝ Առաջին աստիճանի մեկ անհայտով անհավասարումներ։

kx−b>0 կամ kx−b<0 տեսքի անհավասարումները, որտեղ k -ն և b -ն տրված թվեր են, ընդ որում k≠0, անվանում են առաջին աստիճանի մեկ x անհայտով անհավասարումներ:Օրինակ՝ 2 +>0,3-<0

k-ն անհավասարման անհայտի գործակից, իսկ b-ն ազատ անդամ։

Անհավասարման լուծումը այն թիվն է, որը x-ի փոխարեն տեղադրելով ստացվում է ճիշտ թվային անհավասարություն։

Լուծել անհավասարումը նշանակում է, գտնել նրա բոլոր լուծումները, կամ ապացուցել, որ դրանք չկան։

Օրինակ 1․ a−5<0, a<5 Պատասխան՝a∈(-∞;5)

Օրինակ 2․ −2y−100<0 Երկու մասը բաժանելով -2-ի, կստանանք՝
y>−50 (անհավասարության նշանը փոխվում է)
Պատասխան՝y∈(−50;+∞)

Հուշում՝ երբ թիվը կամ փոփոխականը անհավասարման մի մասից տեղափոխվում է մյուս մասը, ապա նրա նշանը փոխվում է:

Մեկ անհայտով առաջին աստիճանի անհավասարումների լուծման ալգորիթմը հետևյալն է՝ ա այդ անհավասարման ազատ անդամը տեղափոխում ենք անհավասարման աջ մասը, փոխելով նշանը հակադիրով, բ ստացված անհավասարման երկու մասը բաժանել անհայտի գործակցի վրա, ընդ որում, եթե >0, ապա անհավասարման նշանը չի փոխվում, իսկ եթե<0, ապա անհավասարման նշանը փոխվում է հակադիրով։ Ստացված անհավասարումը հենց պատասխանն է։

Հարցեր և առաջադրանքներ։

1․ Ի՞նչն են անվանում առաջին աստիճանի մեկ անհայտով անհավասարում։ Գրել մի քանի օրինակ։

2․ Ի՞նչն են անվանում առաջին աստիճանի մեկ անհայտով անհավասարման լուծում։

3․ Ի՞նչ է նշանակում լուծել առաջին աստիճանի մեկ անհայտով անհավասարումը։

4․ Արդյո՞ք 4 թիվը հանդիսանում է նշված անհավասարման լուծում՝ ա) x>0 բ) x<-2 գ) -4<x<4 դ) x<4,2 ե) 3,8 <x<4,1

ա) x>0 ֊ Այո.
բ) x<-2 ֊ Ոչ.
գ) -4<x<4 ֊ Ոչ.
դ) x<4,2 ֊ Այո
ե) 3,8 <x<4,1 ֊ Այո.

5․ Լուծել անհավասարումները․

ա) x — 1 > 0,
x > 0 + 1,
x > 1,
( 1, ○○):

բ) x + 5 < 0,
x < -5,
( -○○, -5):

գ) x — 0,5 < 0,
x < 0,5,
( -○○, 0,5):

դ) 3 + x > 0,
x > -3,
( -3, ○○):

ե)7 + x > 0,
x > -7
( -7, ○○)

զ) x — 1 1/3 < 0,
x < 1 1/3,
( -○○, 1 1/3)

6․ Լուծել անհավասարումները և լուծումը պատկերել թվային ուղղի վրա․

ա) x > 2,
( 2, ○○).

բ) x < -2,
( -○○, -2).

գ) x > -20,
( -20, ○○).

դ) x > -3,
( -3, ○○).

ե) x < 1,
( -○○, 1).

զ) x < 2,
( -○○, 2).

7․ Լուծել անհավասարումները և լուծումը պատկերել թվային ուղղի վրա․

ա) x > 0,
(0, ○○).
բ) x > 0,
( 0, ○○).
գ) x > -2,
( -2, ○○).
դ) x > 0,
( 0, ○○).
ե) x < 2,
( -○○, 2).
զ) x < -1,
( -○○, -1).

8․ Լուծել անհավասարումները․

ա) x < 6,
( -○○, 6).

բ) x < 4/3,
( -○○, 4/3).

գ) x < 3,
( -○○, 3).

դ) x > 0,
( 0, ○○).

ե) x > 1/3,
( 1/3, ○○).

զ)

Պարապմունք 38

Թեմա՝ Միջակայքերի պատկերումը թվային ուղղի վրա:

Հարցեր և առաջադրանքներ:

1․Պատկանու՞մ է արդյոք -1 թիվը թվային բազմությանը (գրառումը կատարեք ∈ և ∉ նշանների օգնությամբ):

ա)[-4;0] բ)(-2;4) գ)(-∞;-2] դ)(-3;+∞) ե)N զ)Z է)Q ը)R

ա) -1∈[-4;0]

բ) -1∈(-2;4)

գ) -1∉(-∞;-2]

դ) -1∈(-3;+∞)

ե) -1∉N

զ) -1∈Z

է) -1∉Q

ը) -1∈R

2․ Արդյո՞ք ճիշտ է հետևյալ պնդումը՝ −1.67∉(−∞;−5)

ա) ոչ բ) այո

3․ Կոորդինատային առանցքի վրա նշել ա) [2;5] հատվածը բ) (2;5) միջակայքը
ա)

բ)

4․Պատկերեք նշված բազմությունները թվային ուղղի վրա՝

ա) [4;9] բ) (-2;7] գ)[-1;9) դ) (0;8)

ա)

բ)

գ)

դ)

5․ Կոորդինատային առանցքի վրա պատկերել թվային միջակայքերը․

ա) [-2;3] և [0;2] բ) [-4;6] և [-1;5] գ) [-5;2] և [3;5] Նրանք ընդհանուր կետեր ունե՞ն։ Եթե այո, գրառել այդ բազմությունների ընդհանուր մասը (հատումը):

ա)

բ)

գ)

Պարապմունք 35

Թեմա՝ Թվային անհավասարությունների հատկությունները:

Իրական թվերի կանոնները

Իրական թվերը ենթարկվում են հետևյալ կանոններին:

1 -ին կանոն: Ցանկացած երկու a և b իրարից տարբեր իրական թվերից մեկը մյուսից մեծ է: Այսինքն, ցանկացած a և b իրական թվերի համար տեղի ունի հետևյալ առնչություններից միայն մեկը՝ a=b, a>b, a<b

Օրինակ՝ 10 և 15 թվերի համար ճիշտ է 10<15 անհավասարությունը, և սխալ են մյուս երկու առնչությունները՝ 10=15 և 10>15

2 -րդ կանոն: Ցանկացած երկու a և b իրարից տարբեր իրական թվերի միջև կա երրորդ թիվը: Այսինքն` եթե a<b, ապա գոյություն ունի այնպիսի c թիվ, որ տեղի ունի հետևյալ երկկողմանի անհավասարությունը՝ a<c<b

Օրինակ՝ 1.4 և 1.5 թվերի համար գոյություն ունի, օրինակ, 1.44 թիվը, այնպես, որ տեղի ունի հետևյալ երկկողմանի անհավասարությունը՝ 1.4<1.44<1.5

3 -րդ կանոն: Ցանկացած երեք a, b և c իրական թվերի համար, եթե a<b և b<c, ապա a<c

Օրինակ՝ 10/11<1 և 1<6/5 անհավասարություններից բխում է 10/11<6/5 անհավասարությունը:

Թվի գումարումը և թվով բազմապատկումը

1 -ին հատկություն: Եթե a>b, ապա a+c>b+c

Եթե անհավասարության երկու մասերին գումարել կամ հանել միևնույն թիվը, ապա անհավասարության նշանը չի փոխվի:

Օրինակ՝ 3<12 ճիշտ անհավասարության երկու մասերին գումարելով −2 թիվը, կստանանք ճիշտ անհավասարություն՝ 1<10

2 -րդ հատկություն: Եթե a>b և k>0, ապա ak>bk

Եթե անհավասարության երկու մասերը բազմապատկել միևնույն դրական թվով, ապա անհավասարության նշանը չի փոխվի:

Օրինակ Գիտենք, որ 17,2<x<17,3: Դրտարկենք 2x -ը:

Կրկնակի անհավասարությունը դրական 2 թվով բազմապատկելիս ստացվում է միանուն անհավասարություն (նշանները չեն փոխվում):

17,2⋅2<x⋅2<17,3⋅2, 34,4<2x<34,6

3 -րդ հատկություն: Եթե a>b և k<0, ապա ak<bk

Եթե անհավասարության երկու մասերը բազմապատկել միևնույն բացասական թվով, ապա անհավասարության նշանը կփոխվի:

Օրինակ՝ Հայտնի է, որ 17,2<x<17,3: Դիտարկենք −2x-ը:

Կրկնակի անհավասարությունը բացասական −2 թվով բազմապատկելիս ստացվում է հականուն անհավասարություն (նշանները փոխվում են):

17,2⋅(−2)<x⋅(−2)<17,3⋅(−2), −34,4>−2x>−34,6, −34,6<−2x<−34,4

Առաջադրանքներ

1.Համեմատել

ա) 5 < 9
բ) -5 > -9
գ) 2.5 * 4 = 10
դ) 1,2 < 1,202
ե) -6,7 < 1
զ) -5,404 < -5,4

2. Երկու ճշմարիտ անհավասարությունների հիման վրա կատարել եզրակացություն.

ա) -5 < 2
բ) -2 < 2
գ) 2 > 0
դ) 2,1 > 1,(6)
ե) -3,7 > -7
զ) 0,5 < 0,(67)
է) 5 / 6 < 9 / 8
ը) 7/16 < 8/16

3.Նշել տրված թվերից մեկից մեծ և մյուսից փոքր թիվ: Պատասխանը գրել կրկնակի անհավասարության տեսքով:

ա) 3 < 4 < 5
բ) -25 > -27 > -29
գ) 2,5 < 2,55 < 2,6
դ) 2,4 < 2,402 < 2,404
ե) -3,71 > -3,715 > -3,72
զ) -0,501 < 0 < 0,6

4.Գրել անհավասարություն, որը ստացվում է տված անհավասարության ձախ և աջ մասերի թվերը փոխարինելով նրանց հակադարձներով:

ա) 1/6 < 1/3
բ) 1/7 >= 1/10
գ) 1/2 > 4
դ) 1/11 > 1/12
ե) 1/13 <= 1/12
զ) 1/15 >= 1/26
Ճիշտ է։

5. Տրված ճշմարիտ անհավասարությունից ստանալ ճշմարիտ անհավասարություն,որում յուրաքանչյուր թիվը փոխարինված է իր հակադիրով:

ա) -3 < 0
բ) -5 < 1
գ) 9 > 1
դ) 5 >= 1
ե) -9 <= 2
զ) 0 >= -3

6. Տրված ճշմարիտ անհավասարությունից ստանալ նոր ճշմարիտ անհավասարություն` գումարելով նրա երկու մասերին միևնույն թիվը.

ա)14<21 բ) 32> 27 գ) 45<78 դ) -55<88 ե) -5 > -15 զ) 64> -99
ա) 14 + 5 < 21 + 5
բ) 32 + 6 > 27 + 6
գ) 45 + 12 < 78 + 12
դ) -55 + 13 < 88 + 13
ե) -5 + 6 > -15 + 6
զ) 64 + 5 > -99 + 5

7. Տրված ճշմարիտ անհավասարությունից ստանալ նոր ճշմարիտ անհավասարություն` նրա երկու մասը բազմապատկելով միևնույն դրական թվով.

ա) 15 * 2 < 20 * 2
բ) 5 * 3 > 4 * 3
գ) -2,5 * 4 < 3 * 4
դ) 1,1 * 8 < 1,2 * 8
ե) 1,3 * 100 >= 1,2 * 100
զ) -5 * 1/2 <= 6 * 1/2

8. Բազմապատկել ճշմարիտ անհավասարության երկու մասը միևնույն բացասական թվով:

ա) 1 * -1 > 2 * -1
բ) 5 * -5 < 4,5 * -5
գ) 6,5 * -17 >= 6,9 * -17
դ) 1,1 * -111 > 1,2 * -111
ե) 1,3 * -694 <= 1,2 * -694
զ) 5 * -32 >= 6 * -32

9. Համեմատել

ա) 2^2 < 9^2
բ) 5^2 < 6^2
գ) 4^2 < 10^2
դ) 1,3^2 < 1,5^2
ե) 7,28^2 < 8,37^2
զ) 5,4^2 > 4,5^2
է) (-2)^2 < (-3)^2
ը) 4^2 = (-4)^2
թ) (-4)^2 > 1^2
ժ) (-1)^2 < (-1,4)^2
ի) (-4,9)^2 < (-7)^2
լ) 4^2 < (-5)^2

Պարապմունք 34

Թեմա՝ Թվաբանական գործողություններ իրական թվերի հետ։

a,b,c իրական թվերի համար տեղի ունեն գումարման և բազմապատկման ընդունված կանոնները՝

a+b=b+a ab=ba a+(b+c)=(a+b)+c a(bc)=(ab)c (a+b)c=ac+bc:

Տեղի ունեն նաև թվերի նշանների վերաբերյալ հետևյալ կանոնները՝

— երկու դրական թվերի արտադրյալը (քանորդը) դրական թիվ է,
— երկու բացասական թվերի արտադրյալը (քանորդը) դրական թիվ է,
— դրական և բացասական թվերի արտադրյալը (քանորդը) բացասական թիվ է:

Թվաբանական գործողությունները իրական թվերի հետ ունեն հետևյալ հատկությունները:

1. Ռացիոնալ թվերի հետ ցանկացած թվաբանական գործողության (բացի 0-ի վրա բաժանելուց) արդյունքում ստացվում է ռացիոնալ թիվ:

2. Իռացիոնալ թվերի հետ թվաբանական գործողության արդյունքում կարող է ստացվել ինչպես ռացիոնալ, այնպես էլ իռացիոնալ թիվ:

3. Ռացիոնալ և իռացիոնալ թվերի հետ թվաբանական գործողության (բացի 0-ի վրա բաժանելուց և բազմապատկելուց) արդյունքում ստացվում է իռացիոնալ թիվ:

Բերված կանոններն ու հատկությունները տեսական բնույթ ունեն: Հիշում ենք, որ իրական թվերը անվերջ տասնորդական կոտորակներ են: Այդ պատճառով, գործնականում, հարմար է թվաբանական գործողությունները կատարել մոտավոր հաշված (կլորացրած) կոտորակների հետ:

Երկու իրական թվերի գումարը (տարբերությունը) մոտավոր հաշվելու համար նախ այդ թվերը կլորացնում են նույն ճշտությամբ, ապա գումարում են (հանում են) ստացված մոտավորությունները:

Օրինակ

Մոտավոր հաշվենք a=3.889217010203… և b=−1.260076(27)… թվերի գումարը մեկ հարյուրերորդականի ճշտությամբ:

1) Կլորացնենք այս թվերը մեկ հարյուրերորդականի ճշտությամբ՝

a≈3.89,b≈−1.26:

2) Կատարենք գումարումը՝

a+b≈3.89+(−1.26)==3.89−1.26=2.63:

Երկու իրական թվերի արտադրյալը (քանորդը) մոտավոր հաշվելու համար նախ այդ թվերը կլորացնում են նույն ճշտությամբ, բազմապատկում են (բաժանում են) ստացված մոտավորությունները, ապա արդյունքը կլորացնում են նույն ճշտությամբ:

Օրինակ

Մոտավոր հաշվենք վերևի c=4.579(128) և 2.1122334455… թվերի արտադրյալը մեկ հարյուրերորդականի ճշտությամբ:

1) Կլորացնենք այս թվերը մեկ հարյուրերորդականի ճշտությամբ՝

c≈4.58,d≈2.11:

2) Կատարենք բազմապատկումը՝

c⋅d≈4.58⋅2.11=9.6638:

3) Կլորացնենք բազմապատկման արդյունքը նույն ճշտությամբ՝

c⋅d≈9.66:

Այսպիսով, առավել անկանխատեսելի է այն դեպքը, երբ գործողությունները կատարվում են երկու իռացիոնալ թվերի հետ: Այս դեպքում արդյունքը կարող է լինել ինչպես ռացիոնալ, այնպես էլ իռացիոնալ թիվ:

Օրինակ

ա) √3⋅√3=3 իռացիոնալ թվերի արտադրյալը տալիս է ռացիոնալ թիվ:

բ) √3⋅√5=√15 իռացիոնալ թվերի արտադրյալը տալիս է իռացիոնալ թիվ:

Հիշենք, որ ցանկացած իրական թիվ անվերջ տասնորդական կոտորակ է՝

— ռացիոնալ թվերն անվերջ պարբերական կոտորակներ են, իսկ

— իռացիոնալ թվերը՝ անվերջ ոչ պարբերական կոտորակներ:

Ուստի, գործնականում, հարմար է թվաբանական գործողությունները կատարել մոտավոր հաշված (կլորացրած) կոտորակների հետ:

1) Երկու իրական թվերի գումարը (տարբերությունը) մոտավոր հաշվելու համար նախ այդ թվերը պետք է կլորացնել նույն ճշտությամբ, ապա գումարել (հանել) ստացված արդյունքները:

2) Երկու իրական թվերի արտադրյալը (քանորդը) մոտավոր հաշվելու համար նախ այդ թվերը պետք է կլորացնել նույն ճշտությամբ, բազմապատկել (բաժանել) ստացված մոտավորությունները, ապա արդյունքը կլորացնել նույն ճշտությամբ:

Առաջադրանքներ

1․Մինչև 0,1 ճշտությամբ կլորացնել թվերը և հաշվել նրանց մոտավոր գումարն ու տարբերությունը, եթե

ա) a= 3,28 b= 0,11 բ) a=-7,17 b= -0,33 գ) a=2,7235 b=-3,42426 դ) a=2,7(3) b=3,4(2)

a=3,3 b=0,1 3,3+0,1=3,4 3,3-0,1=3,2
a=-7,2 b=-0,3 -7,2+-0,3=-7,5, -7,2—0,3=-6,9
a=2,7 b=-3,4 2,7+-3,4=-0,7, 2,7—3,4=6,1
a=2,7 b=3,4 2,7+-3,4=-0,7, 2,7—3,4=6,1

2․Մինչև 0,01 ճշտությամբ կլորացնել թվերը և հաշվել նրանց մոտավոր գումարն ու տարբերությունը, եթե

ա) a=1,4545 =1, 45 b=-1,203=-1,10 1,45+-1,10=0,35, 1,45—1,10=2,55

բ) a=2,1264=2,13 b=-3,1145=-3,11 2,13+-3,11=-0,98, 2,13—3,11=5,24

գ) a=-5,777=-5,78 b= 2,536=2,54
դ) a=0,5642=0,56 b=-3,573=3,57

3․Մինչև 0,1 ճշտությամբ կլ;որացնել թվերը և հաշվել նրանց մոտավոր արտադրյալն ու քանորդը, եթե

ա) a=-2,435=-2,4 b=1,923=1,9 բ) a=2,14564=2,1 b=0,78788 =0,8

գ) a=-5,768=-5,8 b= 2,534=2,5 դ) a=0,56=0,6 b=0,(3)=0,3

4․Մինչև 0,01 ճշտությամբ կլորացնել թվերը և հաշվել նրանց մոտավոր գումարն ու տարբերությունը, եթե

ա) a=0,253=0,25 b=0,75=0,75 0,25+0,75=1, 0,25-0,75=-0,5
բ) a=3,5781=3,58 b=-0,08788=-0,09 3,58+-0,09=3,49, 3,58—0,09=3,67

գ) a=-0,045=-0,05 b= -0,593=0,59 -0,05+0,59=0,54, -0,05-0,59=-0,64
դ) a=4,(2)=4,22 b=1,(3)=1,33 4,22+1,33=5,55 4,22-1,33=2,89

ե ) a=0,(2)=0,22 b=2=2 0,22+2=2,22, 0,22-2=-1,78

5.Նշել մի որևէ թիվ, որը գտնվում է տված թվերի միջև

ա) a=2,3 b=2,4 2,34 բ) a=3,2 b=3,(2) 3,21 գ) a=-3,15 b=-3,14 - 3,145

6․ Ճի՞շտ է արդյոք անհավասարությունը․

ա) 3,5+2,729<3,6+2,729-ճիշտ է բ) -3,21+0,(4)<-3+0,(4)-ճիշտ է

գ) -5,6+3,2>-5,1+3,(2)-ճիշտ չէ

դ) 3,7⋅0,8< 3,8⋅0,8-ճիշտ է ե) -5,1⋅0,(3)< -5⋅0,(3)-ճիշտ է

զ) -3,(8)⋅0,5>-3,8⋅0,(5)-ճիշտ չէ

Պարապմունք 33

Թեմա՝ Իրական թվերի համեմատումը և մոտարկումը։

Եթե ունենք երկու իրական թիվ, ապա՝ կամ դրանք իրար հավասար են, կամ էլ՝ մեկը մյուսից մեծ է: Պարզենք, թե գործնականում ինչպե՞ս համեմատել իրական թվերը:

Երկու անվերջ տասնորդական կոտորակներ (այսինքն իրական թվեր) իրար հավասար են, եթե նրանք ունեն նույն նշանը և նրանց մոդուլներն ունեն նույն ամբողջ մասերը և համապատասխան կարգերում նույն թվանշանները:

Զրո թիվը փոքր է ցանկացած դրական թվից և մեծ է ցանկացած բացասական թվից:

Նկարագրենք իրարից տարբեր երկու տասնորդական կոտորակների (այսինքն իրական թվերի) համեմատման քայլերը:

Առաջին քայլ: Եթե երկու դրական տասնորդական կոտորակների ամբողջ մասերը իրարից տարբեր են, ապա մեծ է այն կոտորակը, որի ամբողջ մասն ավելի մեծ է:

Եթե ամբողջ մասերը հավասար են, կատարում ենք երկրորդ քայլը:

Երկրորդ քայլ: Դիտարկում ենք ստորակետից հետո եկող առաջին կարգը: Այն կոտորակն է ավելի մեծ, որի այդ կարգում գրված թվանշանը ավելի մեծ է:

Եթե առաջին կարգում գրված թվանշաններն էլ են իրար հավասար, ապա կատարում ենք հաջորդ քայլը և դիտարկում ենք ստորակետից հետո եկող երկրորդ կարգը և այդպես շարունակ:

Վերջին քայլ: Քանի որ դիտարկում ենք իրարից տարբեր կոտորակներ, ապա հաջորդաբար դիտարկելով կոտորակների կարգերը, կհանդիպենք այնպիսի կարգի, որում գրված թվանշաններն իրար հավասար չեն: Այն կոտորակն է ավելի մեծ, որի այդ կարգում գրված թվանշանը ավելի մեծ է:

Օրինակ

Համեմատենք 2.1 և 2.(1) իրական թվերը:

Կոտորակները գրենք անվերջ տասնորդական կոտորակների տեսքով և կիրառենք համեմատման նկարագրված քայլերը՝ 2.1=2.1000…2.(1)=2.1111…

Առաջին քայլ: Նկատում ենք, որ կոտորակների ամբողջ մասերը հավասար են իրար և հավասար են 2 -ի:

Երկրորդ քայլ: Իրար հավասար են նաև ստորակետից հետո եկող առաջին կարգային թվանշանները: Դրանք հավասար են 1 -ի:

Երրորդ քայլ: Առաջին կոտորակի երկրորդ կարգային թվանշանը 0 -ն է, իսկ երկրորդ կոտորակինը՝ 1 -ը:

Այսպիսով՝ 2.1<2.(1)

Որոշ դեպքերում, մասնավորապես, գրաֆիկական եղանակով հավասարումներ լուծելու համար, մաթեմատիկոսները որոշեցին մտցնել արժեքի մոտավոր հաշվման գաղափարը:

Մոտավոր հաշվարկի համար կա ևս մեկ պատճառ՝ դա իրական թվերն են, այսինքն՝ անվերջ տասնորդական կոտորակները: Չէ՞ որ կատարել հաշվարկներ անվերջ տասնորդական կոտորակների հետ անհարմար է, այդ պատճառով, գործնականում հաշվարկները կատարում են իրական թվերի մոտավոր արժեքների հետ:

Երկրաչափական շատ բանաձևերում հանդիպում է π իրական թիվը: Դա անվերջ ոչ պարբերական տասնորդական կոտորակ է:

Օրինակ

Հաշվենք π=3,141592… թվի մոտավոր արժեքները:

1) Եթե այս անվերջ կոտորակի գրառումն ընդհատենք, ստորակետից հետո պահելով երկու թվանշան, ապա կստանանք՝ π≈3,14:

Սա π թվի մոտարկումն է հարյուրերորդականի ճշտությամբ (մինչև 0,01 ճշտությամբ) պակասորդով (ներքևից):

2) Ստորակետից հետո կարելի է պահել երեք թվանշան: Ստանում ենք՝ π≈3,141:

Սա π թվի մոտարկումն է մինչև 0,01 ճշտությամբ պակասորդով (ներքևից):

3) Եթե պահել երեք թվանշան և երրորդը մեկով ավելացնել՝ π≈3,142, ապա կստանանք π թվի մոտարկումը մինչև 0,01 ճշտությամբ ավելուրդով (վերևից):

Պակասորդով և հավելուրդով մոտարկումները անվանում են թվի կլորացում:

Կլորացման ճշտությունը որոշվում է թվի x ճշգրիտ արժեքի և նրա a մոտավոր արժեքի տարբերության մոդուլով՝ |x−a|

Կլորացման կանոնը:

Եթե առաջին դեն նետվող թիվը 5-ից փոքր է, ապա այն կարելի է ուղղակի անտեսել՝ կատարել մոտարկում պակասորդով, իսկ եթե դեն նետվող թիվը 5-ց մեծ է կամ հավասար, ապա պետք է կլորացնել հավելուրդով:

Ուշադրություն

Պետք է հիշել, որ պակասորդով կլորացնելիս միշտ ստանում ենք ճշգրիտից փոքր թիվ, իսկ հավելուրդով` մեծ:

Վերադարնանք π=3,141592… թվին: Կլորացնելով 0,001 ճշտությամբ ստանում ենք՝ π≈3,142: Այստեղ առաջին դեն նետվող թիվը հավասար է 5 -ի (ստորակերից հետո չորրորդ թիվը), ուստի կլորացրեցինք հավելուրդով:

Օրինակ

Կլորացնելով 0,0001 ճշտությամբ ստանում ենք՝ π≈3,1416: Առաջին դեն նետվող թիվը (հինգերորդը ստորակետից հետո) հավասար է 9 -ի:

Արդեն տեսանք, որ 0,01 ճշտությամբ պետք է կլորացնել պակասորդով՝ π≈3,14:

Հարցեր և առաջադրանքներ։

1․ Ինչպե՞ս է կատարվում իրական թվերի համեմատումը։

Նկարագրենք իրարից տարբեր երկու տասնորդական կոտորակների (այսինքն իրական թվերի) համեմատման քայլերը:

Եթե ամբողջ մասերը հավասար են, կատարում ենք երկրորդ քայլը:

2․ Ինչպե՞ս են կլորացնում իրական թվերը։

Եթե առաջին դեն նետվող թիվը 5-ից փոքր է, ապա այն կարելի է ուղղակի անտեսել՝ կատարել մոտարկում պակասորդով, իսկ եթե դեն նետվող թիվը 5-ց մեծ է կամ հավասար, ապա պետք է կլորացնել հավելուրդով:

3․ Համեմատել թվերը.

ա) > բ)> գ) < դ) < ե) = զ) =

4.Թվերը դասավորել աճման կարգով․

ա) -2,(7), -0,142536, 0,125, 0,1(25)
բ) -2(778), 0,(12), 1,(5)

5․Թվերը դասավորել նվազման կարգով․

1/8, 0,1115, 0,124, 1/9, -4,7(5), -4,7556.

6․ Գտե՛ք a թվի մոտարկումը պակասորդով՝ ստորակետից հետո երկրորդ կարգի 1 միավորի ճշգրտությամբ, եթե․

ա) a=ա) a=0,76543=0,8 բ) a=-0,34354=-0,3

7․ Գտե՛ք a թվի մոտարկումը հավելուրդով՝ ստորկետից հետո երկրորդ կարգի 1 միավոր ճշգրտությամբ, եթե
ա) a=3,56789= 0.77 բ) a=2,555=– 0.34

8․ a թիվը կլորացրեք 0,001 ճշգրտությամբ, եթե․
ա) a=8,91011=8,910
բ) a=-8,910111=-8,910
գ) a=0,2626=0,263
դ) a=0,6265=0,627

9․ 1995, 1996 թիվը կլորացրեք մինչև նշված ճգրտությամբ․
ա) տասնորդական-1995,2000
բ) մեկ հարյորերորդական-1995,2000
գ) մեկ միավոր-1995
դ) մեկ հարյուրյակ-2000

Պարապմունք 32

Հարցեր և առաջադրանքներ։

1․Ո՞ ր թվերն են կոչվում ռացիոնալ թվեր։ 2․Ի՞նչն է կոչվում պարբերություն։ 3․Ո՞ր թիվն է կոչվում իռացիոնալ թիվ։ 4․Ո՞ր թվերն են կոչվում իրական թվեր։

m/n տեսքի թվերը, որտեղ m-ը ամբողջ թիվ է, իսկ n-ը բնական թիվ, կոչվում են ռացիոնալ թվեր
Ստորակետից հետո թվանշանների կրկնվող խումբը կոչվում է պարբերություն, իսկ ինքը կոտորակը՝ անվերջ պարբերական տասնորդական կոտորակ:

Թիվը, որը կարելի է գրել անվերջ ոչ պարբերական կոտորակի տեսքով, կոչվում է իռացիոնալ թիվ:

Ռացիոնալ և իռացիոնալ թվերը միասին անվանում են իրական թվեր:

5․Տրված թիվը գրառել պարբերական կոտորակի տեսքով, նշել պարբերությունը․

ա)0,(3) բ)0,(2) գ)2,4
դ)12 ե)0,8 զ)0,75
է)0,(5714285) ը)0,(714285) թ)0,1(6)
Ժ)0,(3) ի)0,5 լ)0,(6) խ)0,(487) Ծ)0,40(513) Կ)0,(23805)

6․ Սովորական կոտորակը վերածել պարբերականի․
ա) 5/9=0(5), բ) 2/9=0,(2) գ) 4/9=0,(3) դ) 6/9=0,(6), ե) 7/9=0,(7), զ) 8/9=0,(8) է) 12/99=0,(12) ը) 23/99=0,(23) թ0 34/99=0,(34) ժ) 89/99= 0,(89)

7. Օգտվելով նախորդ առաջադրանքներից՝ պարբերական կոտորակը գրառել սոեվորական կոտորակի տեսքով․ ա) 0,(1) բ) 0,(3) գ) 0,(5) դ) 0,(25) ե) 0,(37) զ) 0,(89)

8. Նշեք չորս թիվ, որոնք լինեն

ա) բնական

1
5
16
73

բ) դրական

4
9
0,8
1,(3)

գ) բացասական

-1
-0,6
-59
-17

դ) ամբողջ

5
9
34
23

ե) ռացիոնալ

8
0,56
-0,125
19

զ) իռացիոնալ

3,14159265…
1,12345678…
2.7182818…
19.876(15)

է) զույգ

2
8
10
78

ը) կենտ

5
13
79
53

թ) պարզ

103
17
3
5

ժ) բաղադրյալ

4
78
343
876

ի) 3-ի բազմապատիկ

3
9
729
51

լ) 2-ի և 5-ի բազմապատիկ
10
30
90
1040

9. Նշեք երկու թիվ, որոնք լինեն

ա) 2, -7

բ) 0,1, 25

գ) 0,7, 8

դ) 7, 31

ե) 5, 20

զ) 9, 49

10. Ռացիոնա՞լ, թե՞ իռացիոնալ է հետևյալ թիվը․ ա) 0,275
Ռացիոնալ
բ) 0,(2)
Իռացիոնալ
գ) 1,32323232․․․
Իռացիոնալ
դ) 3,10110111011110․․․․․
Իռացիոնալ
ե) 0,1234567891011․․․
Իռացիոնալ

Պարապմունք 27

1․ միանդամն ընտրել այնպես, որ հավասարությունը ճիշտ լինի՝
ա)2
բ)40
գ)12
դ)-75
ե)5b
զ)6xy
2․ Արտահայտությունը գրել կոտորակի տեսքով․
ա)3a/2
բ)2x/3
գ)-13x/7
դ)(6 + x)/3
ե)(a + 1) / a
զ)(1 – ab ) / b
3․Ձևափոխել հանրահաշվական կոտորակի․
ա)(a + b) / ab
բ)(2y – 3x) / xy
գ)(xb + ya) / ab
դ)(5ax – 7b) / 7x
ե)(3 – 2a) / 6a
զ)(bc – a) / abc

4․ Ձևափոխել հանրահաշվական կոտորակի․
ա)(acm + abm) / a^2bc
բ)(2abm + 5amn) / bnm^2
գ)((2ab – 3b^2) + (4a – 5b^2)) / mb
դ)((xz – yz) – (xy – yz)) / xyz
5․Ձևափոխել հանրահաշվական կոտորակի․
ա)-x/8
բ)7a/24
գ)(2m^2 – 6m) / 6
դ)( 5a – 3) / 30
ե)(11x + 9) / 24
զ)(5a -13) / 30

Կատարել գործողությունները․
а)1 / 3
б)6xy
в)4ab
г) 3a / (a – b)

Պարապմունք 26

Թեմա՝ Հանրահաշվական կոտորակների բազմապատկումը և բաժանումը:

Կոտորակը կոտորակով բազմապատկելու համար պետք է համարիչը բազմապատկել համարիչով, իսկ հայտարարը՝ հայտարարով և առաջին արտադրյալը գրել համարիչում, իսկ երկրորդը՝ հայտարարում:

Հանրահաշվական կոտորակների արտադրյալը նույնաբար հավասար է մի կոտորակի, որի համարիչը հավասար է համարիչների արտադրյալին, իսկ հայտարարը՝ հայտարարների:

Եթե հնարավոր է, ապա ստացված կոտորակը կրճատում են:

Արտադրյալը սահմանվում է փոփոխականի միայն այն արժեքների համար, որոնց դեպքում կոտորակների հայտարարները հավասար չեն զրոյի:

Այսինքն՝ եթե A/B -ն և C/D -ն երկու հանրահաշվական կոտորակներ են, որտեղ A -ն, B -ն, C -ն և D -ն բազմանդամներ են, ապա A/B⋅C/D=A⋅C/B⋅D, որտեղ B≠0,D≠0:

Օրինակ

Կատարենք բազմապատկումը՝ 12a⁴/25b³⋅(−5b²/6a⁴)

Լուծում: Դրական և բացասական թվերի արտադրյալը բացասական թիվ է, այդ պատճառով կոտորակի առջևում դնում ենք մինուս նշանը:

Որպեսզի մի կոտորակ բաժանել մյուսի վրա, պետք է համարիչի կոտորակը բազմապատկել հայտարարի կոտորակի հակադարձ կոտորակով:

Օրինակ

Նույն կանոնը գործում է նաև հանրահաշվական կոտորակների դեպքում՝ կոտորակները բաժանելու համար պետք է համարիչի կոտորակը բազմապատկել հայտարարի կոտորակի հակադարձ կոտորակով:

Եթե հնարավոր է, ապա համարիչի և հայտարարի արտահայտությունները վերլուծվում են արտադրիչների և կրճատվում:

Կանոնը մնում է ուժի մեջ, երբ արտահայտություններից մեկը բազմանդամ է: Այդ դեպքում պետք է բազմանդամը ներկայացնել 1 հայտարարով կոտորակի տեսքով:

Օրինակ

1․Ինչպե՞ս են բազմապատկվում հանրահաշվական կոտորակները։

2․Ինչպե՞ս են բաժանվում հանրահաշվական կոտորակները։

3․Կատարել գործողությունները․

ա) a/b x c/d = ac/bd

բ) x/y : a/b = bx/ay

գ) 4a/7b x 21/a = 12/b

դ) 5/8 : 15q/16p = 2p/3q

ե) 5ax/6by x 3x/5y = ax2/2by2

զ) 7/a x 5ax/14by = 5x/2by

4․Ձևափոխել հանրահաշվական կոտորակի․

ա) (2ba2-2b3)/a2+b
բ) (2x-2y)/y
գ) (4mn2-4nm2)/n2-m2
դ) (2a-4)(b+1)/a2-4
ե) x3-xy2/2×3-2y2x-2xy2+2y3
զ) 25m2-144-m4/m4+m3-12m2

5․Կատարել բազմապատկում և բաժանում․

ա) 1/p3q
բ) a3-a2b-9b2a+9b3/a4+2a3b-3a2b2
գ) 3×3+3x2y-3y2x-3y3/6×3-6xy2
դ) 0

6․Կատարել բազմապատկում և բաժանում․

ա) 2nm3+2n3/m2-mn+n2
բ) 1/3a2b-3ab2
գ) m3-mn2-nm2+n3/m3+n3
դ) 3×5+3y3x2+3x4y+3y4x/6×4-6x3y-6y2x2+6xy3
ե) 3q2/p2+2pq
զ) 16a2+8ab+4b2/8a3-b3

Պարապմունք 25

Թեմա՝ Հանրահաշվական կոտորակների գումարումն ու հանումը

Հավասար հայտարարներով կոտորակների գումարման և հանման ժամանակ՝ գումարվում կամ հանվում են նրանց համարիչները, իսկ հայտարարները մնում են անփոփոխ:

Նույն կանոնով գումարվում և հանվում են հավասար հայտարարներով հանրահաշվական կոտորակները՝

հանրահաշվական կոտորակների գումարման ժամանակ, համարիչները գումարվում են, իսկ հայտարարները մնում են անփոփոխ՝

հանրահաշվական կոտորակների հանման ժամանակ, համարիչները հանվում են, իսկ հայտարարները մնում են անփոփոխ՝

Նույն կանոնով կարելի է գումարել կամ հանել հավասար հայտարարներով մի քանի կոտորակներ՝

Եթե կոտորակների հայտարարները հակադիր արտահայտություններ են, ապա դրանց գումարելու կամ հանելու համար պետք է սկզբում կիրառել հանրահաշվական կոտորակների նշանների փոփոխման կանոնը,

ապա գումարել կամ հանել հավասար հայտարարներով կոտորակները:

Դիտարկենք այն դեպքը, երբ հանրահաշվական կոտորակների հայտարարները իրարից տարբեր միանդամներ են, օրինակ այսպիսի՝

Այդպիսի հանրահաշվական կոտորակները գումարելու կամ հանելու համար պետք է՝

գտնել ընդհանուր հայտարարը,
որոշել յուրաքանչյուր կոտորակի լրացուցիչ արտադրիչը (ընդհանուր հայտարարի բերելիս),
գումարել կամ հանել նոր կոտորակների համարիչները,
հնարավորինս կրճատել ստացված կոտորակը:

Հարցեր և առաջադրանքներ։

1․ Ինչպե՞ս են գումարվում միևնույն հայտարարով հանրահաշվական կոտորակները։

2․ Ինչպե՞ս են գումարվում հակադիր հայտարարներով հանրահաշվական կոտորակները։

3․ Ինչպե՞ս են գումարվում տարբեր հայտարարներով հանրահաշվական կոտորակները։

Տարբեր հայտարարներով հանրահաշվական կոտորակները գումարելու կամ հանելու համար պետք է՝

գտնել ընդհանուր հայտարարը,
որոշել յուրաքանչյուր կոտորակի լրացուցիչ արտադրիչը (ընդհանուր հայտարարի բերելիս),
գումարել կամ հանել նոր կոտորակների համարիչները,
հնարավորինս կրճատել ստացված կոտորակը:

4․ Կատարել գործողությունները․

ա) x + y / 3
բ) a – b / 7
գ) 2x – 3y / 5
դ) 2m – 2 / m + n
ե) -x – 9 / x – 3
զ) 8p – 8 / p + 1

5․ Կատարել գործողությունները․

ա) x / 2
բ) 3a – 1 / 3
գ) 2a + b / 5
դ) 2y – x / 7

6․Կատարել գործողությունները․

ա) -x + 1 / x – 1
բ) 0
գ) -1a / a – b

7․ Պարզեցրել արտահայտությունը․

ա) 3 / a
բ) a + 3 / x
գ) -a / b
դ) 5m + 3n / 4
ե) x / 1
զ) a / 2

8․ Կատարել գործողությունները․

ա) 8 / a + b
բ) 1/ x -1
գ) 0
դ) -2 / m + n
ե) -x + 1 / x – 3
զ) 6p – 8 / p + 1

9․ Ձևափոխել հանրահաշվական կոտորակի.

ա) 2a+3b/6
բ) 2x – 4y / 8
գ) 10m – 12 / 15
դ) 20m + 6n / 15
ե) 17p / 12
զ) 3a^2 – 8a / 12
է) -x^2 / 15
ը) 35xy^2 – 54xy / 63

Պարապմունք 24

Թեմա՝ Հանրահաշվական կոտորակները ընդհանուր հայտարարի բերելը:

Օգտվելով կոտորակի հիմնական հատկությունից՝ ցանկացած երկու կոտորակները կարելի է բերել ընդհանուր հայտարարի։ Ընդ որում որպես ընդհանուր հայտարար միշտ կարելի է վերցնել տրված կոտորակների հայտարարարների արտադրյալը՝ A/B=AxD/BxD, C/D= CxB/DxB:

Օրինակ 1/x-1 1/ x+1 կոտորակներն ունեն (x-1)(x+1) = x²-1 ընդհնուր հայտարարը, ուստի 1/x-1=1(x+1)/(x-1)(x+1)= x+1/x²-1; 1/x+1= 1(x-1)/(x+1)(x-1)=x-1/x²-1:

Առաջադրանքներ

1.Կոտորակները բերեք ընդհանուր հայտարարի`

ա) x / x – 2
1 / 2 – x = – 1 / x – 2

բ) x / 5 + x = – x / x + 5
3 / x + 5

գ) 4x / x – 1 = -4x / 1 – x
2 – 7x / 1 – x

դ) 2x / 3x + 6 = -> 2x / x + 2
5 / x + 2 -> 15 / x + 2

ե) 16 / 2x – 8 -> 16 / x – 4
7 / x – 4 -> 14 / x – 4

զ) 3 – x / 5 – x -> 6 – 2x / 5 – x
-5 / 5 – x

2.Կոտորակները բերեք ընդհանուր հայտարարի`

ա) x / 3x – x^2 -> x / 3 – x
4 / 3 – x -> 4x / 3 – x

բ) 1 / 2 + x -> x – 2 / x^2 – 4
x – 1 / x^2 – 4

գ) 3 / 4 + 6x -> +3 / 9x + 6
5x / 9x + 6 -> 7.5x / 9x + 6

դ) 5x / 3 – x -> – 15x – 5x^2 / x^2 – 9
2 / x^2 – 9

3.Կոտորակները բերեք ընդհանուր հայտարարի`

ա) x / 4x + x^2 -> x / 3x + 12
4x / 3x + 12

բ) 13x / 25 – x^2 -> 26x / 2(25 – x^2)
x – 1 / 10 + 2x -> x^2 + 6x – 5 / 2(25 – x^2)

գ) x – 3 / 4 – x^2
5x / x^2 – 4 -> -5x / 4 – x^2

դ) 2 / (x – 3)^2 – > 2 / x^2 – 9
1 + x / x^2 – 9

4.Կոտորակները բերեք ընդհանուր հայտարարի`

Պարապմունք 23.

5x²/36x²
72/26x²
132x/36x²
28/36x²
9x/36x²

7.Կոտորկաները դարձրեք 20x^2y հայտարարով․

x²/20x²y
100y/20x²y
7x²y/20x²y
22xy/20x²y
12x/20x²y

8.Կոտորկաները դարձրեք նույն հայտարարով․

ա)3x/6 և 2/6
բ)7x/35 և -15/35
գ)12x/30 և -25/30

9.Կոտորկաները դարձրեք նույն հայտարարով

ա)x/x-2 և 1/-(x-2)
x/x-2 և 1/x-2
բ)Քանի որ այս օրինակում կոտորակի հայտարարում տրված է գումարում, իսկ գումարումների ժամանակ տեղափոխելիս գումարը չի փոխվում՝
x/x+5 և 3/x+5

10. Կրճատեք կոտորակը

ա)a-b/c+d
բ)a+b/m+n
գ)x/x+y

Պարապմունք 21.

Առաջադրանքներ ամրապնդելու համար
1. Հաշվեք

Ա)1/16 Բ)1/3 Գ)1/81 Դ)1 ե)9/20 զ)1/9

2. Ստուգեք հավասարությունը

Ա)հավասար են
Բ)հավասար են

3. Հաշվեք

Ա)1/2^3 բ)-8 գ)1/9 դ)-8 ե)1/2^4 զ)-16 է)1/-16 ը)-16

4. Ներկայացրեք ամբողջ ցուցիչով աստիճաի տեսքով

ա)a^-3b^-3 բ)14

5. Ներկայացրեք ամբողջ ցուցիչով աստիճաի տեսքով

ա)a^6b-15 բ)a^-14b^4 գ

6. Համեմատեք

Ա)>
Բ)=
գ)>

7.Ներկայացրեք քառակուսու տեսքով

Ա)(a^2)^2
Բ)(a^10)^2
Գ)(a^25)^2

8. Կատարեք բազմապատկումը

1)a^8 2)b^9 3)-m^6 4)-x^8 5)-y^11 6)c^11 7)p^n+2 8)a^m+4 9)x^n+k+3 10)y^n+5 11)z^2n+3+n-5 12)b^m-4+7-2m

9. Բարձրացրեք աստիճան

1)a^6 2)x^8 3)-y^12 4)-x^20 5)-c^40 6)x^21 7)-y^45 8)b^12 9)z^3*2 10)y^k*5

Պարապմունք 20.

Առաջադրանքներ։
1. Գրեք ամբողջ ցուցիոչվ աստիճանի տեսքով.

ա) 2^3×2^4=2^3+4=2^7

բ) 5×5^6=5^1+6=5^7

գ) 4^3×4^2×4=4^3+2+1=4^6

դ) 7^2x7x7^5=7^2+^1+5=7^8

ե) 3^6×3^7x3x3=3^6+^7+1+1=3^15

զ) 6^4×6^4×6^3×6^2=6^4+4+3+2=6^13

է) 11^2×11^2×11^2=11^2+2=2

ը) 9^3×9^6×9^2×9^4×9=9^3+6+2+4=6^15

2. Գրեք ամբողջ ցուցիոչվ աստիճանի տեսքով.

ա) a^5^.a^4=a^5+4=a^9

բ) a^3^.a^8=a^3+8=a^11

գ) a^10^.a=a^10+1=a^11

դ) a^.a^7=a^8

ե) a^.a=a^1+1=a^2

զ) a^.a^2^.a^3^.a^4=a^1+2+3+4=a^10

3. Գրեք ամբողջ ցուցիոչվ աստիճանի տեսքով.

ա) 2^5:2^4=2^5-4=2

բ) 3^7:3^8=3^-1

գ) 5^9:5=5^9-1=5^8

դ) 10^3/10=10^3-1=10^2

ե) 5^7/5^13=5^7-13=5^-6

զ) 8^12/8^10=8^12-10=8^2
4. Գրեք ամբողջ ցուցիոչվ աստիճանի տեսքով.

ա) a^7:a^3=a^7-3=a^4

բ) a^8:a^12=a^8-12=a^-4

գ) a^6:a=a^6-1=a^5

դ) a^12/a^4=a^12-4=a^8

ե) a^20/a^22-a^20-22=a^-2

զ) a^20/a=a^20-1=a^19
5. Գրեք ամբողջ ցուցիոչվ աստիճանի տեսքով.

ա) 10^2/12^2=(10/12)^2

բ) 4^3/5^6=(2^2)^3/5^6=(4^6/5^6)

գ) 25^4/7^8=(5^2)^7/7^8=5^8/7^8=(5/7)^8

դ) (m^3)^4/(a^3)^3=m^12/a^12=(m/a)^12

ե) m^3m^5/a^8=m^3+5/a^8=m^8/a^8

զ) (n^6)^2/a^12=n^12/a^12

6. Գրեք ամբողջ ցուցիոչվ աստիճանի տեսքով.

ա) a^3^.a^4=a^3+4=a^7

բ) a^4^.a=a^4+1=a^5

գ) a^13:a^6=a^13-6=a^7

դ) a^12:a=a^12-1=a^11

ե) (a^4)^6=a^24

զ) (a^2)^5=a^1-

է) a^7^.b^7=(ab)^7

ը) a^4^.b^4=(ab)^4

7. Գրեք ամբողջ ցուցիոչվ աստիճանի տեսքով.

ա) a^5:a^6=a^5-6=a^-1

բ) a^7:a^6=a^7-6=a^1

գ) a^4:a=a^4-1=a^3

դ) a^12:a^12=a^12-12=a^0=1

ե) a^-4:a^6=a^-4-6=a^-10

զ) a^4:a^-5=a^4-(-5)=a^9

է) a^-11:a^-8=a^-11-(-8)=a^-3

ը) a^-4:a=a^4-1=a^-3

թ) a^6:a^5=a^6-5=a

ժ) a^9:a^0=a^9-0=a^9

ի) a^-3:a^0=a^-3-0=a^-3

լ) a^0:a^-8=a^0-(-8)=a^8

8. Աստղանիշի փոխարեն գրեք այնպիսի թիվ, որ հավասարությունը ճիշտ լինի.

Պարապմունք 19.

Թեմա՝ Ամբողջ ցուցիչով աստիճանի գաղափարը

Թվի (միանդամի) ցուցիչը, երբ բնական թիվ էր, մենք ուսումնասիրել ենք նախորդ ուսումնական տարում, այս տարի էլ հասցրել ենք մի քիչ կրկնել, տես օրինակը

Երբևէ մտածել ես ինչի՞ է հավասար այս արտահայտությունը, երբ թվի ցուցիչը բացասական թիվ է կամ զրո է

Պայմանավորվենք, այսուհետ բացասական ցուցիչով աստիճանը համարել՝

Օրինակներ

Կարևոր

Առաջադրանքներ

1. Հաշվեք․

ա)1

բ)1

գ)1

դ)1

2. Հաշվեք․

ա)16/8=2

բ)16/16=1

գ)16/32=2

դ)32/128=4

3. Գրեք ամբողջ ցուցիչով աստիճանի տեսքով․

ա)2*2*2=2^3

բ)2^8

գ)3^-2

դ)2^2

ե)

զ)3^4

է)5^1

ը)2^4

թ)2^5

ժ)1

4. Հաշվեք․

5. Համեմատեք․

ա)=

բ)<

գ)>

ե)>

զ)<

Պարապմունք 18.

ա)x⁴y⁴
բ)1000a³
գ)27bc³
դ) x^3y^3z^3
ե) 16a^2b^2c^2
զ) 256a^4 b^4
է) 32+a^5+b^5
ը) 3a^2

ա) 8 x^2 y^4
բ) a^4 b^3
գ) a^5 b^4 c^3
դ) 9 x^3 y^5 z^2
ե) a^4 x^4
զ) a^6 b^5

ա) (ab)^4
բ) (3x)^3
գ) (0,245b)^2
դ) (-2xy)^3
ե) (3xy)^4
զ) (2y)^5
ի) (2a)^4
լ) (4a)^2
թ) (2m)^3

ա) a^12
բ) x^10
գ) x^5y^3z
դ) b^2c^3d^8
ե) 9a^6
զ) m^40

ա) a^7
բ) a^2
գ) a^3
դ) a^n-1
ե) a^8
զ) a^9

ա) x^12y^8
բ) 8a^6
գ) 2a^6

ա) 6a^2b
բ) 8b^2c^5
գ) 9c^2t^3
դ) 14x^4y^5
ե) 6x^4y^3
զ) 0

Պարապմունք 17.

Թեմա՝ Ամբողջ ցուցիչով աստիճանի գաղափարը
Դիտարկենք դրական ցուցիչի դեպքը/ անցել ենք նախորդ ուսումնական տարոմ/
1. Միանդամը ներկայացրեք ավելի կարճ գրելաձևով.

ա) 2xxxbb=2 x^3 b^2
բ) 4aaaayyyc=4a^4y^3c
գ) xxyxxy=x^4 y^2
դ) xx17yyy=17x^2y^3
ե) kkkk=k^4
զ) a^2a^ 3=a^5
է) b^4 b=b^5
ը) c^3 c^3=c^6
թ) 14abc^2b^2a^3c^3=14a^3b^2c^5

2. Միանդամը ներկայացրեք ավելի կարճ գրելաձևով.

ա) (−3)b2=(-1)b
բ) 4a3=7a
գ) (−2)b^2 b5
դ) 3a a a a a a ⋅ 2= 6 а^6
ե) pa^ 2 ⋅ (−1)p^3 a=-p^4 a^3
զ) ararat=a^3 r^2t

3. Բազմապատկեք միանդամները.
ա) 3ab ⋅ 2a= 6a^2 b
բ) 8bc^4 ⋅ bc=8b^2c^5
գ) 9c t^2 ⋅ 10ct,=90c^2t^3
դ) 7x^2 y ⋅ 2x ^2 y^4,=14x^4y^4
ե) 1,5x ^3 y ⋅ 4 x y^2=6x^4y^3
զ) a^15 ⋅ 20а^9=20a^25

4. Համեմատեք թվային արտահայտությունների արժեքները.
ա) (2^4 )^ 2 > 2^4 x2
բ) (3^2 ) ^2 > 3^2 x2
գ) (5^2 )^ 4 > 5^2 x 4
դ) (4^3 )^ 2 > 4^3 x 2

5. Աստղանիշի փոխարեն ընտրեք այնպիսի միանդամ, որ ստացվի ճիշտ հավասարություն.

ա) 2a^2 b x 7a^3b = 14a^5 b^2
բ) 14a^2 c^3x15a^4c^(-2)b = 42a^6 cb5
գ) 4bc^4 x 17b^3 c^4 = 68b^4 c^7
դ) 8a^2c^-2e^9 x 11a^3 c^2 = 88a^5 e^9 :

6.Հաշվեք
ա) 3 x(−2)^ 2 = 12
բ) −4 x (−3) ^3 = 108
գ) −(−3) ^3 = 27
դ) −(−2)^ 3 = 8
ե) −(−0,3)^ 2 = -0.9
զ) −(−0,5)^ 3 = 0.125
է) (−3^2 )^2 = 81
ը) (−1)^ 20237 = -1.

Օրվա խնդիրը։
Գինեգործը իր ունեցած 420 դույլ գինուց վաճառեց 6 անգամ ավելի շատ դույլ գինի, քան իր մոտ մնաց։ Նա որքա՞ն դրամ վաստակեց, եթե յուրաքանչյուր 5 դույլ գինին վաճառեց 2500 դրամով։
180 000 դրամ

Պարապմունք 16.

Օրվա աշխատանքը։
Կրկնողություն
1. Բարձրացրեք քառակուսի

ա) a^2 – 2ab + b^2:
բ) x^2 – 6x + 9
գ) m^2 – 2m + 1
դ) p^2 + 10p + 25
ե) 4a^2 – 12a + 9
զ) 9y^2 – 24y + 16

2. Բարձրացրեք քառակուսի

ա) m^2+2mn+n^2
բ) 4 + 4x + x^2
գ) y^2 + 8y + 16
դ) 1 + 2p + p^2
ե) 4x + 4x + 1
զ) 4 + 12a + 9a^2
է) 9m^2 + 30mn + 25n^2
ը) 9x^2 + 24xy + 16y^2

3. Լուծիր գծային հավասարումների համակարգը

ա) y = 1
բ) y = 11
գ) x = 3
դ) x = 4

Պարապմունք 13.

Լուծիր հավասարումների համակարգը քեզ հարմար եղանակով․
1.Հուշում․ Առաջին հավասարումից հանիր երկրորդ հավասարումը։
{x+2y-3=0
{x+y+1=0

x+2y- x-y-1= 0
y-1=0
y=1
x+1+1=0
x+2=0
x=-2
(-2; 1)

2. Հուշում․ Առաջին հավասարումից հանիր երկրորդ հավասարումը։
{x-3y+3=0
{x+y-1=0
x-3y+3-x-y+1=0
-4y+4=0
-4y=-4
y=1

x+1-1=0
x=0

(0; 1)

3.Հուշում․ Առաջին հավասարումից հանիր երկրորդ հավասարումը։
{4x+y-2=0
{3x+y+3=0
4x+y-2-3x-y-3=0
x-5=0
x=5
15+y+3=0
y=-18
(5; -18)

4.Հուշում․ Երկրորդ հավասարումից հանիր առաջին հավասարումը։
{x-y-7=0
{3x-y+1=0

3x-y+1-x+y+7=0
2x+8=0
2x=-8
x=-4
-4-y-7=0
y=11
(-4; 11)

5.Հուշում․ Հավասարումների համապատասխանաբար աջ և ձախ կողմերը իրար գումարիր։
{x+3y-1=0
{-x+4y+8=0

x+3y-1-x+4y+8=0
7y+7=0
y=-1
x-3-1=0
x=4
(4; -1)

6.Հուշում․ Հավասարումների համապատասխանաբար աջ և ձախ կողմերը իրար գումարիր։
{x-2y+3=0
{-x+3y-2=0

Լուծիր խնդիրները նախապես կազմելով երկու անհայտով երկու հավասարումների համակարգ։
7.
Մի թիվը 2 անգամ մեծ է մյուսից։ Եթե այդ թվերից փոքրը մեծացվի 4 անգամ, իսկ մեծը՝ 2 անգամ, ապա նրանց գումարը հավասար կլինի 48։ Գտեք այդ թվերը։

8.
Մի թիվը 3 անգամ փոքր է մյուսից։ Եթե այդ թվերից փոքրը մեծացվի 2 անգամ, ապա նրանց գումարը հավասար կլինի 45։ Գտեք այդ թվերը։

{x=3y
{2y+y=45

Պարապմունք 12.

Լուծիր համակարգը քեզ հարմար եղանակով։
1.
{ x=4
{ 2x+ y=18

2. Հուշու․ երկու հավասարումներն իրար գումարիր։
{2y+3x=13
{5y-3x=22

3.
{x-y=5
{ 2x+4y=22
x=5+y
6y=12
y=2

4.
{3x-2y=11
{4x-5y=35.
{x+2y=8
{x-y=2

6.
{2x+y=4
{x+y=3

2x + x = 3x
y + y = 2y
4 + 3 = 7

Լուծիր խնդիրները կազմելով գծային երկու հավասարումների համակարգ։

7.Երկու թվերի գումարը 10 է, իսկ տարբերությունը 4: Գտեք այդ թվերը։

x=7 y=3

8.Մի թիվ վեցով մեծ է մյուսից։ Այդ թվերի գումարը 40 է։ Գտեք այդ թվերը։

x=22 y=28

9. Մի թիվ 15-ով փոքր է մյուսից։ Այդ թվերի գումարը 23 է։ Գտեք այդ թվերը։

x=7 y=16

Պարապմունք 11

1.
{ 4x+10y=22
{3x+7y=10
12x + 30y – 12x – 28y = 26
(-27 ; 13)

2.
{6x-2y=6
{5x-y=7
(2 ; 3)

3.
{2x+5y=15
{3x+2y=6
(0 ; 3)

4.
{2x+4y=6
{3x-2y=25
(7 ; -2)

5.
{x+2y=3
{2x-38=-8
(15 ; -6)

Լուծիր խնդիրները։
6.Գինեգործը իր ունեցած 420 դույլ գինուց վաճառեց 6 անգամ ավելի շատ դույլ գինի, քան իր մոտ մնաց։ Նա որքա՞ն դրամ վաստակեց, եթե յուրաքանչյուր 5 դույլ գինին վաճառեց 2500 դրամով։
6x + x = 420դույլ գինի
7x = 420 դույլ գինի
x = 60 դույլ գինի
6x = 360 դույլ գիգնի
360 : 5 = 72 հնգյակ
72 * 2500 = 180 000 դրամ

7. Դարակում կա 100-ից ոչ շատ գիրք։ Քանի՞ գիրք կա դարակում, եթե այդ գրքերով կարող ենք պատրաստել և՛ երեքական, և՛ չորսական, և՛ հնգակական կապոցներ։
60

8. Քանի՞ ութանիշ թիվ կա, որի թվանշանների գումարը 2 է։
8

9. Կովը մի խուրձ խոտը ուտում է 5 ժամում, ձին ուտում է 10 ժամում, իսկ էշը՝ 30 ժամում։ Մեկ խուրձ խոտը միասին քանի՞ ժամում կուտեն։
3ժ

Май 2024
Пн	Вт	Ср	Чт	Пт	Сб	Вс
		1	2	3	4	5
6	7	8	9	10	11	12
13	14	15	16	17	18	19
20	21	22	23	24	25	26
27	28	29	30	31