Պարապմունք 45

Թեմա՝ Մոդուլի նշան պարունակող հավասարումների և անհավասարումների լուծումը։

Հիշենք մոդուլի սահմանումը:

x ոչ բացասական թվի բացարձակ արժեք կամ մոդուլ անվանում են հենց x թիվը՝  |x|=x: Բացասական x թվի մոդուլ կոչվում է նրա հակադիր թիվը՝  |x|=−x

Ավելի կարճ գրում են այսպես՝ |x|={x, եթե x≥0 և −x, եթե x<0

Օրինակ՝ |8|=8 |−3|=−(−3)=3 |0|=0

Մոդուլի հատկությունները

1. |a|≥0

2. |ab|=|a|⋅|b|

3. ∣a/b∣=|a|/|b|

4. |a|²=a²

5. |a|=|−a|

Մոդուլ պարունակող պարզագույն հավասարումներ։

Դիտարկենք |x|=A հավասարումը, որտեղ A-ն իրական թիվ է:

Մոդուլի սահմանումից և հատկություններից հետևում է, որ |x|=A հավասարումը՝

1)A<0 դեպքում լուծում չունի,

2)A=0 դեպքում ունի միակ լուծումը՝  x=0,

3)A>0 դեպքում ունի երկու լուծում՝  x=A և x=−A

Գտնենք y -ը, եթե |2y−1|=3

Այս դեպքը բնորոշ է դիտարկված ընդհանուր դեպքին, եթե համարենք, որ x=2y−1, A=3: Հետևաբար, 2y−1=3 կամ 2y−1=−3

Լուծելով այս գծային հավասարումները, ստանում ենք՝ 

2y−1=3 2y=4 y=2  կամ  2y−1=−3 2y=−2 y=−1

Պատասխան՝  y -ը հավասար է −1 -ի և 2 -ի:

Մոդուլ պարունակող անհավասարումներ։

Դիտարկենք |x|<A անհավասարումը, որտեղ A -ն դրական թիվ է:

Մոդուլի սահմանումից, հատկություններից և երկրաչափական մեկնաբանությունից հետևում է, որ |x|<A անհավասարումը համարժեք է −A<x<A կրկնակի անհավասարմանը:

Գիտենք, որ կրկնակի անհավասարումն էլ իր հերթին համարժեք է գծային անհավասարումների համապատասխան համակարգին՝

Այսպիսով, եթե A>0, ապա լուծել |x|<A անհավասարումը նշանակում է լուծել անհավասարումների {x<A և x>−A համակարգը:

Ամբողջ ասվածը ուժի մեջ է նաև ոչ խիստ անհավասարումների համար՝

|x|≤A ոչ խիստ անհավասարումը լուծելու համար պետք է լուծել ոչ խիստ անհավասարումների {x≤A x≥−A համակարգը:

Օրինակ՝ Լուծենք |5−2x|≤3 անհավասարումը:

1) Օգտվելով մոդուլի |a|=|−a| հատկությունից, շրջենք մոդուլատակ արտահայտությունը, փոխելով նշանները: Հետևաբար, պահանջվող անհավասարումը կարելի է արտագրել այսպես՝ |2x−5|≤3

2)|2x−5|≤3 անհավասարումը փոխարինենք անհավասարումների համակարգով՝

{2x−5≤3 և 2x−5≥−3

3) Լուծենք համակարգի անհավասարումները՝  {2x−5≤3 և 2x−5≥−3 {2x≤8 և 2x≥2 {x≤4 և x≥1 {x∈(−∞;4] x∈[1;+∞)

4)Հատենք ստացված բազմությունները՝ (−∞;4]∩[1;+∞)=[1;4]

5) Պատասխան՝ x∈[1;4]

Մոդուլ պարունակող անհավասարումներ

Դիտարկենք |x|>A անհավասարումը, որտեղ A -ն դրական թիվ է:

Մոդուլի սահմանումից և հատկություններից հետևում է, որ |x|>A անհավասարմանը բավարարում են այն և միայն այն x -երը, որոնք բավարարում են x<A կամ  x>−A պայմաններից գոնե մեկին:

Եթե A>0, ապա լուծել |x|>A անհավասարումը նշանակում է լուծել անհավասարումների  [x<A կամ x>−A համախումբը:

Ամբողջ ասվածը ուժի մեջ է նաև ոչ խիստ անհավասարումների համար՝

|x|≥A ոչ խիստ անհավասարումը լուծելու համար պետք է լուծել ոչ խիստ անհավասարումների [x<A կամ x>−A համախումբը:

Օրինակ՝ Լուծենք |4x−6|>2 անհավասարումը:

1)|4x−6|>2 անհավասարումը փոխարինենք անհավասարումների համախմբով՝

[4x−6>2 կամ 4x−6<−2

2) Լուծենք համախմբի անհավասարումները՝  [4x−6>2 կամ 4x−6<−2 [4x>8 կամ 4x<4 [x>2 կամ x<1[x∈(2;+∞) կամ x∈(−∞;1)

3)Միավորենք ստացված բազմությունները՝ (−∞;1)∪(2;+∞)

4) Պատասխան՝ x∈(−∞;1)∪(2;+∞)

Առաջադրանքներ։

1․Լուծել հավասարումները․

ա)

x=9
x=-9

բ)

x=1,5
x=-1,5

գ)

x=3
x=-1

դ)

x=3
x=1

ե)

x=-2
x=-4

զ)

x=-4
x=2

2․ Լուծել հավասարումները՝ 

ա) |x−67.14|=0

x=67,14

բ) ∣5x−21∣=4

x=5
x=3,4

գ) ∣3x+21∣=48

x=-23
x=9

դ) ∣7x+2∣=-8

∅

3․ 9.72 թիվը հանդիսանում է  |x|≤9.72 անհավասարման լուծում: 

4․ Լուծել հավասարումները․

ա)

x=-2
x=3

բ)

x=-2
x=2/3

գ)

x=1
x=11/3

դ)

x=-7/3
x=1

5․Լուծել  տրված անհավասարումները՝ 

ա) |x|≤30
x ∈ [-30;30]

բ) |x+3|<7
x∈[-10;4]

գ) |x−10|<3
x∈[7;13]

դ) |x−5|<13
x∈[-8;18]

ե) |x−25|≤6
x∈[19;31]

զ) |x+6|>8
x∈(-∞;-14)∪(2;+∞)

է) |x−10|>2
x∈(-∞;8)∪(12;+∞)

ը) |x−5|>17
x∈(-∞;-12)∪(22;+∞)

6․Գրել հավասարումների համախումբը, որը համարժեք է հավասարմանը․

ա) |x|=5,
x=5
x=-5

բ) |x|=24
x=24
x=-24

7․Գրել անհավասարմանը համարժեք անհավասարումների համակարգ․ ա) |x|<5, բ) |x|<8Պարապմունք 45

ա) |x|<5,
{x<5
{x>-5

բ) |x|<8
{x<8
{x>-8